ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x=1$;

б) ${\cos }^{8}x+{\sin }^{3}x=1$

а) ${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x=1$;

Выполняются следующие неравенства:

$$0\le {\sin }^{4}x\le 1;$$$${\cos }^{5}x=1-{\sin }^{4}x\ge 0;$$$${\cos }^{5}x\le {\cos }^{2}x;$$$${\sin }^{4}x\le {\sin }^{2}x;$$

Сложим последние два неравенства:

$${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x\le {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x;$$$${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x\le 1;$$

Первое уравнение:

$${\cos }^{5}x={\cos }^{2}x;$$$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$$$\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n;$$

Второе уравнение:

$${\sin }^{4}x={\sin }^{2}x;$$$$\sin x=+1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi }{2}+\pi n;2\pi n$.

б) ${\cos }^{8}x+{\sin }^{3}x=1$;

Выполняются следующие неравенства:

$$0\le {\cos }^{8}x\le 1;$$$${\sin }^{3}x=1-{\cos }^{8}x\ge 0;$$$${\cos }^{8}x\le {\cos }^{2}x;$$$${\sin }^{3}x\le {\sin }^{2}x;$$

Сложим последние два неравенства:

$${\cos }^{8}x+{\sin }^{3}x\le {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x;$$$${\cos }^{8}x+{\sin }^{3}x\le 1;$$

Первое уравнение:

$${\cos }^{8}x={\cos }^{2}x;$$$$\cos x=\pm 1\Rightarrow x=\pi n;$$$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n;$$

Второе уравнение:

$${\sin }^{3}x={\sin }^{2}x;$$$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi n;$$$$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi }{2}+2\pi n;\pi n$.

а) ${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x=1$

Анализ неравенств:

Рассмотрим выражение ${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x$.

${\sin }^{4}x$ и ${\cos }^{5}x$ всегда находятся в пределах от 0 до 1, поскольку функции $\sin x$ и $\cos x$ для всех значений $x$ принимают значения в интервале $[-1,1]$.

$$0\le {\sin }^{4}x\le 1$$

$$\text{(Так как }0\le {\sin }^{2}x\le 1\text{ и возведение в четную степень не изменяет знак.)}$$

Следовательно, ${\sin }^{4}x$ тоже лежит в пределах от 0 до 1.

${\cos }^{5}x=1-{\sin }^{4}x$. Поскольку сумма ${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x=1$, то ${\cos }^{5}x\ge 0$ и также лежит в пределах от 0 до 1.

$${\cos }^{5}x=1-{\sin }^{4}x\ge 0$$

Далее рассмотрим следующее неравенство:

$${\cos }^{5}x\le {\cos }^{2}x$$

Это верно, потому что ${\cos }^{5}x$ — это степень функции $\cos x$, и для всех $x$ выполняется неравенство ${\cos }^{5}x\le {\cos }^{2}x$, так как ${\cos }^{5}x$ всегда будет меньше или равно ${\cos }^{2}x$.

Аналогично для ${\sin }^{4}x$:

$${\sin }^{4}x\le {\sin }^{2}x$$

Сложение неравенств:

Теперь сложим два последних неравенства:

$${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x\le {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$$

Поскольку ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ (это известное тригонометрическое тождество), то:

$${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x\le 1$$

Таким образом, мы получили, что ${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x\le 1$, что совпадает с правой частью исходного уравнения.

Решение уравнений:

Далее решим уравнение ${\cos }^{5}x+{\sin }^{4}x=1$.

Поскольку мы уже выяснили, что сумма этих двух выражений не может превышать 1, необходимо, чтобы каждый из слагаемых был равен 1.

Рассмотрим первое уравнение:

$${\cos }^{5}x={\cos }^{2}x$$

Преобразуем его:

$${\cos }^{5}x-{\cos }^{2}x=0$$

Выносим общий множитель ${\cos }^{2}x$:

$${\cos }^{2}x({\cos }^{3}x-1)=0$$

Решаем это уравнение:

${\cos }^{2}x=0$, что даёт:

$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n(n\in \mathbb{Z})$$

${\cos }^{3}x-1=0$, что даёт:

$$\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n(n\in \mathbb{Z})$$

Таким образом, для ${\cos }^{5}x={\cos }^{2}x$ решения — $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ и $x=2\pi n$.

Теперь решим второе уравнение:

$${\sin }^{4}x={\sin }^{2}x$$

Преобразуем его:

$${\sin }^{4}x-{\sin }^{2}x=0$$

Выносим общий множитель ${\sin }^{2}x$:

$${\sin }^{2}x({\sin }^{2}x-1)=0$$

Решаем это уравнение:

${\sin }^{2}x=0$, что даёт:

$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi n(n\in \mathbb{Z})$$

${\sin }^{2}x-1=0$, что даёт:

$$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2\pi n(n\in \mathbb{Z})$$

Таким образом, для ${\sin }^{4}x={\sin }^{2}x$ решения — $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ и $x=\pi n$.

Ответ:

Объединим решения:

$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$

$x=2\pi n$

б) ${\cos }^{8}x+{\sin }^{3}x=1$

Анализ неравенств:

Рассмотрим выражение ${\cos }^{8}x+{\sin }^{3}x$.

${\cos }^{8}x$ и ${\sin }^{3}x$ также всегда лежат в пределах от 0 до 1.

$$0\le {\cos }^{8}x\le 1$$

$$\text{(Так как }0\le {\cos }^{2}x\le 1\text{ и возведение в четную степень не изменяет знак.)}$$$${\sin }^{3}x=1-{\cos }^{8}x\ge 0$$

Поскольку $1-{\cos }^{8}x$ всегда будет неотрицательным, ${\cos }^{8}x\le {\cos }^{2}x$ и ${\sin }^{3}x\le {\sin }^{2}x$, как и в первом случае.

Сложение неравенств:

Сложим два последних неравенства:

$${\cos }^{8}x+{\sin }^{3}x\le {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$$

С учетом тождества ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$:

$${\cos }^{8}x+{\sin }^{3}x\le 1$$

Это совпадает с правой частью исходного уравнения.

Решение уравнений:

Далее решим уравнение ${\cos }^{8}x+{\sin }^{3}x=1$.

Для этого рассмотрим следующее уравнение:

Первое уравнение:

$${\cos }^{8}x={\cos }^{2}x$$

Преобразуем его:

$${\cos }^{8}x-{\cos }^{2}x=0$$

Выносим общий множитель ${\cos }^{2}x$:

$${\cos }^{2}x({\cos }^{6}x-1)=0$$

Решаем это уравнение:

${\cos }^{2}x=0$, что даёт:

$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n(n\in \mathbb{Z})$$

${\cos }^{6}x-1=0$, что даёт:

$$\cos x=\pm 1\Rightarrow x=\pi n$$

Таким образом, для ${\cos }^{8}x={\cos }^{2}x$ решения — $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ и $x=\pi n$.

Теперь решим второе уравнение:

$${\sin }^{3}x={\sin }^{2}x$$

Преобразуем его:

$${\sin }^{3}x-{\sin }^{2}x=0$$

Выносим общий множитель ${\sin }^{2}x$:

$${\sin }^{2}x(\sin x-1)=0$$

Решаем это уравнение:

${\sin }^{2}x=0$, что даёт:

$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi n(n\in \mathbb{Z})$$

$\sin x-1=0$, что даёт:

$$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2\pi n(n\in \mathbb{Z})$$

Таким образом, для ${\sin }^{3}x={\sin }^{2}x$ решения — $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ и $x=\pi n$.

Ответ:

Объединим решения:

$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$

$x=\pi n$