ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 5 \sin^2 x = 8$;

б) $\cos^2 2x — 2 \cos^3 3x = 3$

а) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 5 \sin^2 x = 8$;

Выполняются следующие неравенства:

$$\sin^2 \frac{x}{3} \leq 1;$$ $$\sin^2 x \leq 1;$$ $$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 5 \sin^2 x \leq 8;$$

Первое уравнение:

$$\sin^2 \frac{x}{3} = 1;$$ $$\sin \frac{x}{3} = \pm 1;$$ $$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin^2 x = 1;$$ $$\sin x = \pm 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{3\pi}{2} + 3\pi n$.

б) $\cos^2 2x — 2 \cos^3 3x = 3$;

Выполняются следующие неравенства:

$$\cos^2 2x \leq 1;$$ $$\cos^3 3x \geq -1;$$ $$\cos^2 2x — 2 \cos^3 3x \leq 3;$$

Первое уравнение:

$$\cos^2 2x = 1;$$ $$\cos 2x = \pm 1;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos^3 3x = -1;$$ $$\cos 3x = -1;$$ $$3x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3};$$

Ответ: $\pi + 2\pi n$.

а) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 5 \sin^2 x = 8$

1. Рассмотрим неравенства

Начнем с того, что для любого значения $x$, выражения $\sin^2 \frac{x}{3}$ и $\sin^2 x$ не могут превышать 1, так как синус любого угла всегда принимает значения в пределах от -1 до 1.

1. $\sin^2 \frac{x}{3} \leq 1$ — это очевидное неравенство, так как для любого значения $\frac{x}{3}$, $\sin^2 \frac{x}{3}$ не может быть больше 1.
2. $\sin^2 x \leq 1$ — аналогичное неравенство для синуса угла $x$.
3. Теперь рассмотрим сложную сумму: $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 5 \sin^2 x$. Максимальные значения для каждого слагаемого:
   • Для $\sin^2 \frac{x}{3}$ максимальное значение — 1, тогда $3 \cdot 1 = 3$.
   • Для $\sin^2 x$ максимальное значение также 1, тогда $5 \cdot 1 = 5$.

   Следовательно, максимальное значение для суммы $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 5 \sin^2 x$ равно $3 + 5 = 8$, что совпадает с правой частью уравнения. Таким образом, это неравенство верно.

2. Решение уравнения

Теперь рассмотрим уравнение:

$$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 5 \sin^2 x = 8.$$

Чтобы решить это уравнение, мы рассмотрим два возможных случая для каждого из членов.

2.1. Рассмотрим первый член: $3 \sin^2 \frac{x}{3}$

Поскольку максимальное значение $\sin^2 \frac{x}{3}$ равно 1, то для того, чтобы сумма $3 \sin^2 \frac{x}{3}$ была максимальной (равной 3), необходимо, чтобы:

$$\sin^2 \frac{x}{3} = 1.$$

Это означает, что:

$$\sin \frac{x}{3} = \pm 1.$$

Решение уравнения $\sin \frac{x}{3} = \pm 1$ — это все значения $\frac{x}{3}$, при которых синус равен ±1. Эти значения $\frac{x}{3}$ находятся по формуле:

$$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Умножив обе стороны на 3, получаем:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n.$$

2.2. Рассмотрим второй член: $5 \sin^2 x$

Для того чтобы сумма $5 \sin^2 x$ была максимальной (равной 5), необходимо, чтобы:

$$\sin^2 x = 1.$$

Это означает, что:

$$\sin x = \pm 1.$$

Решение уравнения $\sin x = \pm 1$ — это все значения $x$, при которых синус равен ±1. Эти значения $x$ находятся по формуле:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. Ответ

Таким образом, для того чтобы оба условия выполнялись одновременно, $x$ должно быть из множества решений, найденных для обоих уравнений. Однако рассмотрим, что из решений второго уравнения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ не является решением для первого уравнения. Следовательно, единственным решением для всей системы будет:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n.$$

Ответ: $\frac{3\pi}{2} + 3\pi n$.

б) $\cos^2 2x — 2 \cos^3 3x = 3$

1. Рассмотрим неравенства

Как и в предыдущем случае, для косинуса мы знаем, что:

• $\cos^2 2x \leq 1$ — так как максимальное значение $\cos 2x$ равно ±1, следовательно $\cos^2 2x$ не может превышать 1.
• $\cos^3 3x \geq -1$ — так как $\cos 3x$ принимает значения в диапазоне от -1 до 1, следовательно $\cos^3 3x$ также не может быть меньше -1.

Теперь для суммы $\cos^2 2x — 2 \cos^3 3x$ максимальные значения:

• $\cos^2 2x$ может быть максимально равно 1.
• $\cos^3 3x$ может быть минимально равно -1, тогда $-2 \cdot (-1) = 2$.

Таким образом, максимальное значение для суммы:

$$1 + 2 = 3,$$

что соответствует правой части уравнения. Это неравенство также выполняется.

2. Решение уравнения

Теперь рассмотрим уравнение:

$$\cos^2 2x — 2 \cos^3 3x = 3.$$

2.1. Рассмотрим первый член: $\cos^2 2x$

Для того чтобы $\cos^2 2x$ было максимально (равным 1), необходимо, чтобы:

$$\cos 2x = \pm 1.$$

Решение уравнения $\cos 2x = \pm 1$ — это все значения $2x$, при которых косинус равен ±1. Эти значения $2x$ находятся по формуле:

$$2x = \pi n \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Умножив обе стороны на 1/2, получаем:

$$x = \frac{\pi n}{2}.$$

2.2. Рассмотрим второй член: $-2 \cos^3 3x$

Для того чтобы $-2 \cos^3 3x$ было максимально (равным 2), необходимо, чтобы:

$$\cos^3 3x = -1.$$

Это означает, что:

$$\cos 3x = -1.$$

Решение уравнения $\cos 3x = -1$ — это все значения $3x$, при которых косинус равен -1. Эти значения $3x$ находятся по формуле:

$$3x = \pi + 2\pi n \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Разделив обе стороны на 3, получаем:

$$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}.$$

3. Ответ

Для того чтобы оба условия выполнялись одновременно, $x$ должно быть решением как первого, так и второго уравнения. Наибольшие пересечения этих решений происходят для значений:

$$x = \pi + 2\pi n.$$

Ответ: $\pi + 2\pi n$.