ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2\sin (\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{6})-3\cos (2x+\frac{\pi }{3})=5$

б) $\sin \frac{x}{4}+2\cos \frac{x-2\pi }{3}=3$

а) $2 \sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) — 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 5$

Выполняются следующие неравенства:

$$\sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) \leq 1;$$ $$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \geq -1;$$ $$2 \sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) — 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \leq 5;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) = 1;$$ $$\frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{2x}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{3}{2} \cdot 2\pi n = \pi + 3\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = -1;$$ $$2x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n;$$ $$2x = \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: корней нет.

б) $\sin \frac{x}{4} + 2 \cos \frac{x — 2\pi}{3} = 3$

Выполняются следующие неравенства:

$$\sin \frac{x}{4} \leq 1;$$ $$\cos \frac{x — 2\pi}{3} \leq 1;$$ $$\sin \frac{x}{4} + 2 \cos \frac{x — 2\pi}{3} \leq 3;$$

Первое уравнение:

$$\sin \frac{x}{4} = 1;$$ $$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{4\pi}{2} + 4 \cdot 2\pi n = 2\pi + 8\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos \frac{x — 2\pi}{3} = 1;$$ $$\frac{x — 2\pi}{3} = 2\pi n;$$ $$x — 2\pi = 3 \cdot 2\pi n = 6\pi n;$$ $$x = 2\pi + 6\pi n;$$

Ответ: $2\pi + 24\pi n$.

а) Решение уравнения: $2 \sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) — 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 5$

Шаг 1: Анализ пределов значений синуса и косинуса.

Рассмотрим два тригонометрических выражения, входящих в уравнение: $\sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right)$ и $\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$.

Для синуса:

$$\sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) \leq 1$$

Поскольку синус всегда принимает значения в диапазоне от $-1$ до $1$, то это выражение может быть не больше 1.

Для косинуса:

$$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \geq -1$$

Поскольку косинус всегда находится в диапазоне от $-1$ до $1$, это выражение может быть не меньше $-1$.

Теперь рассмотрим саму исходную задачу:

$$2 \sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) — 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \leq 5$$

Исходя из того, что:

• $\sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) \leq 1$, максимальное значение для $2 \sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right)$ — это $2 \times 1 = 2$,
• $\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) \geq -1$, минимальное значение для $-3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$ — это $-3 \times (-1) = 3$.

Тогда максимальное значение выражения $2 \sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) — 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$ — это $2 + 3 = 5$, что как раз и дает максимальную сумму, равную 5. То есть, данное неравенство справедливо.

Шаг 2: Преобразование уравнений.

Теперь разберем само уравнение:

$$2 \sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) — 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 5$$

Для простоты анализа и решения разобьем это уравнение на два компонента:

1. $2 \sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) = 5 + 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$,
2. $3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) — 5$.

Шаг 3: Решение первого уравнения.

Для первого уравнения можно попытаться решить синус в зависимости от известной функции:

$$\sin \left( \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} \right) = 1$$

Это означает, что:

$$\frac{2x}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Решим это относительно $x$:

$$\frac{2x}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Теперь умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{3}{2} \cdot 2\pi n = \pi + 3\pi n$$

Это дает нам множество решений:

$$x = \pi + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 4: Решение второго уравнения.

Для второго уравнения:

$$\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = -1$$

Это означает, что:

$$2x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n$$

Решим относительно $x$:

$$2x = \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Теперь делим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Это дает множество решений:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 5: Проверка наличия общих корней.

Теперь мы проверяем, пересекаются ли множества решений, полученные для двух уравнений:

1. $x = \pi + 3\pi n$,
2. $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Чтобы эти решения совпали, должно существовать целое число $m$, при котором:

$$\pi + 3\pi n = \frac{\pi}{3} + \pi m$$

Умножаем обе части на 3, чтобы избавиться от дробей:

$$3\pi + 9\pi n = \pi + 3\pi m$$

Преобразуем:

$$3\pi (1 + 3n) = \pi(1 + 3m)$$

Теперь делим обе части на $\pi$:

$$3(1 + 3n) = 1 + 3m$$

Решаем относительно $n$ и $m$:

$$3 + 9n = 1 + 3m \quad \Rightarrow \quad 9n — 3m = -2.$$

Это линейное Diophantine уравнение, но оно не имеет целых решений, так как $-2$ не делится на 3. Следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

б) Решение уравнения: $\sin \frac{x}{4} + 2 \cos \frac{x — 2\pi}{3} = 3$

Шаг 1: Анализ пределов значений синуса и косинуса.

Рассмотрим два тригонометрических выражения:

• $\sin \frac{x}{4} \leq 1$,
• $\cos \frac{x — 2\pi}{3} \leq 1$.

В исходной задаче:

$$\sin \frac{x}{4} + 2 \cos \frac{x — 2\pi}{3} \leq 3.$$

Сначала мы заметим, что максимальное значение для $\sin \frac{x}{4}$ — это 1, а максимальное значение для $\cos \frac{x — 2\pi}{3}$ — это 1. Умножаем на 2:

$$\sin \frac{x}{4} + 2 \times 1 = 3.$$

Таким образом, максимальное значение для всей левой части уравнения действительно равно 3, что удовлетворяет неравенству.

Шаг 2: Преобразование уравнений.

Рассмотрим:

$$\sin \frac{x}{4} = 1.$$

Это означает:

$$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$

Решим относительно $x$:

$$x = 4 \cdot \frac{\pi}{2} + 8\pi n = 2\pi + 8\pi n.$$

Шаг 3: Решение для косинуса.

Рассмотрим:

$$\cos \frac{x — 2\pi}{3} = 1.$$

Это означает:

$$\frac{x — 2\pi}{3} = 2\pi n.$$

Решим относительно $x$:

$$x — 2\pi = 6\pi n \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi + 6\pi n.$$

Шаг 4: Пересечение решений.

Для совпадения решений у нас должно быть:

$$2\pi + 8\pi n = 2\pi + 6\pi m.$$

Убираем $2\pi$:

$$8\pi n = 6\pi m \quad \Rightarrow \quad 4n = 3m.$$

Это уравнение имеет решение для целых чисел $n$ и $m$, где $n = 3k$, $m = 4k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:

$$x = 2\pi + 24\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$