ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\sqrt{5-2\sin x}=6\sin x-1$$

б)$$\sqrt{2+4\cos x}=3\cos x+0.5$$

а)

$$\sqrt{5 — 2 \sin x} = 6 \sin x — 1;$$ $$5 — 2 \sin x = 36 \sin^2 x — 12 \sin x + 1;$$ $$36 \sin^2 x — 10 \sin x — 4 = 0;$$ $$18 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$18y^2 — 5y — 2 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 18 \cdot 2 = 25 + 144 = 169, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 13}{2 \cdot 18} = \frac{-8}{36} = -\frac{2}{9};$$ $$y_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 18} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$5 — 2 \sin x \geq 0;$$ $$2 \sin x \leq 5;$$ $$\sin x \leq 2.5 \quad \text{(при любом } x);$$

Уравнение имеет решения при:

$$6 \sin x — 1 \geq 0;$$ $$6 \sin x \geq 1;$$ $$\sin x \geq \frac{1}{6};$$

Решение уравнения:

$$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$

б)

$$\sqrt{2 + 4 \cos x} = 3 \cos x + 0.5;$$ $$2 + 4 \cos x = 9 \cos^2 x + 3 \cos x + \frac{1}{4};$$ $$9 \cos^2 x — \cos x — \frac{7}{4} = 0;$$ $$36 \cos^2 x — 4 \cos x — 7 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$9y^2 — y — \frac{7}{4} = 0 \quad | \cdot 4;$$ $$36y^2 — 4y — 7 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 36 \cdot 7 = 16 + 1008 = 1024, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{4 — 32}{2 \cdot 36} = \frac{-28}{72} = -\frac{7}{18};$$ $$y_2 = \frac{4 + 32}{2 \cdot 36} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$2 + 4 \cos x \geq 0;$$ $$4 \cos x \geq -2;$$ $$\cos x \geq -\frac{1}{2};$$

Уравнение имеет решения при:

$$3 \cos x + 0.5 \geq 0;$$ $$3 \cos x \geq -0.5;$$ $$\cos x \geq -\frac{1}{6};$$

Решение уравнения:

$$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$

а) Решение уравнения:

$$\sqrt{5 — 2 \sin x} = 6 \sin x — 1.$$

Шаг 1: Избавление от квадратного корня.

Для начала избавимся от квадратного корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

$$\left(\sqrt{5 — 2 \sin x}\right)^2 = (6 \sin x — 1)^2.$$

Тогда получаем:

$$5 — 2 \sin x = (6 \sin x — 1)^2.$$

Раскроем квадрат на правой части:

$$5 — 2 \sin x = 36 \sin^2 x — 12 \sin x + 1.$$

Шаг 2: Перенос всех членов на одну сторону.

Переносим все члены на одну сторону:

$$5 — 2 \sin x — 36 \sin^2 x + 12 \sin x — 1 = 0.$$

Упростим:

$$36 \sin^2 x — 10 \sin x — 4 = 0.$$

Теперь получаем квадратное уравнение относительно $\sin x$:

$$36 \sin^2 x — 10 \sin x — 4 = 0.$$

Шаг 3: Преобразование уравнения в стандартный вид.

Для удобства решим это уравнение, разделив его на 2, чтобы уменьшить коэффициенты:

$$18 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0.$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения.

Пусть $y = \sin x$. Тогда уравнение принимает вид:

$$18y^2 — 5y — 2 = 0.$$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 18 \cdot (-2) = 25 + 144 = 169.$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{169}}{2 \cdot 18} = \frac{5 — 13}{36} = \frac{-8}{36} = -\frac{2}{9},$$ $$y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 18} = \frac{5 + 13}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 5: Проверка допустимости решений.

Напоминаем, что $\sin x$ может принимать значения только в интервале $[-1, 1]$. Проверим, какие из найденных корней удовлетворяют этому условию:

• $y_1 = -\frac{2}{9}$ — это значение лежит в пределах допустимых значений для синуса, то есть $y_1$ является допустимым корнем.
• $y_2 = \frac{1}{2}$ — также лежит в пределах допустимых значений для синуса, то есть $y_2$ является допустимым корнем.

Шаг 6: Проверка условий задачи.

Заданные выражения должны удовлетворять определённым условиям. Для того чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы под квадратным корнем было неотрицательное выражение:

$$5 — 2 \sin x \geq 0.$$

Это выражение даёт:

$$2 \sin x \leq 5,$$ $$\sin x \leq 2.5.$$

Поскольку максимальное значение синуса равно 1, то это условие выполняется при любом $x$.

Шаг 7: Дополнительное условие для решения уравнения.

Также у нас есть условие для правой части уравнения, которое должно быть больше или равно нулю:

$$6 \sin x — 1 \geq 0.$$

Преобразуем:

$$6 \sin x \geq 1,$$ $$\sin x \geq \frac{1}{6}.$$

Таким образом, синус должен быть больше или равен $\frac{1}{6}$. Это накладывает дополнительное ограничение на возможные значения синуса.

Шаг 8: Решение уравнения.

Мы нашли два возможных значения для $\sin x$: $y_1 = -\frac{2}{9}$ и $y_2 = \frac{1}{2}$.

• Для $y_1 = -\frac{2}{9}$ не выполняется условие $\sin x \geq \frac{1}{6}$, поэтому это значение исключаем.
• Для $y_2 = \frac{1}{2}$ выполняется все условия, так что это значение подходит.

Таким образом, решение уравнения:

$$\sin x = \frac{1}{2}.$$

Теперь находим все значения $x$, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$. Это значение достигается при:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

где $n$ — любое целое число.

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

б) Решение уравнения:

$$\sqrt{2 + 4 \cos x} = 3 \cos x + 0.5.$$

Шаг 1: Избавление от квадратного корня.

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$$\left(\sqrt{2 + 4 \cos x}\right)^2 = (3 \cos x + 0.5)^2.$$

Тогда получаем:

$$2 + 4 \cos x = (3 \cos x + 0.5)^2.$$

Раскроем квадрат на правой части:

$$2 + 4 \cos x = 9 \cos^2 x + 3 \cos x + 0.25.$$

Шаг 2: Перенос всех членов на одну сторону.

Переносим все члены на одну сторону:

$$2 + 4 \cos x — 9 \cos^2 x — 3 \cos x — 0.25 = 0.$$

Упростим:

$$-9 \cos^2 x + \cos x + 1.75 = 0.$$

Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:

$$-36 \cos^2 x + 4 \cos x + 7 = 0.$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения.

Пусть $y = \cos x$. Тогда уравнение примет вид:

$$-36y^2 + 4y + 7 = 0.$$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

$$D = 4^2 — 4 \cdot (-36) \cdot 7 = 16 + 1008 = 1024.$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-4 — \sqrt{1024}}{2 \cdot (-36)} = \frac{-4 — 32}{-72} = \frac{-36}{-72} = \frac{1}{2},$$ $$y_2 = \frac{-4 + \sqrt{1024}}{2 \cdot (-36)} = \frac{-4 + 32}{-72} = \frac{28}{-72} = -\frac{7}{18}.$$

Шаг 4: Проверка допустимости решений.

Для $\cos x$ допустимые значения лежат в интервале от $-1$ до $1$. Проверим найденные значения:

• $y_1 = \frac{1}{2}$ лежит в пределах допустимых значений, поэтому это допустимый корень.
• $y_2 = -\frac{7}{18}$ также лежит в пределах допустимых значений, поэтому это тоже допустимый корень.

Шаг 5: Проверка условий задачи.

Для того чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы под квадратным корнем было неотрицательное выражение:

$$2 + 4 \cos x \geq 0,$$

что даёт:

$$4 \cos x \geq -2,$$ $$\cos x \geq -\frac{1}{2}.$$

Таким образом, косинус должен быть больше или равен $-\frac{1}{2}$, что накладывает дополнительное ограничение на возможные значения косинуса.

Шаг 6: Дополнительное условие для решения уравнения.

Также у нас есть условие для правой части уравнения, которое должно быть больше или равно нулю:

$$3 \cos x + 0.5 \geq 0,$$

что даёт:

$$3 \cos x \geq -0.5,$$ $$\cos x \geq -\frac{1}{6}.$$

Таким образом, косинус должен быть больше или равен $-\frac{1}{6}$.

Шаг 7: Решение уравнения.

Теперь находим все значения $x$, для которых $\cos x = \frac{1}{2}$. Это значение достигается при:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n,$$

где $n$ — любое целое число.

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$