ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a)

$$\sqrt{3}\sin x-\sqrt{2{\sin }^{2}x-2\sin x\cdot \cos x+3{\cos }^{2}x}=0;$$

б)

$$\cos x+\sqrt{{\sin }^{2}x-4\sin x\cdot \cos x+4{\cos }^{2}x}=0$$

a)

$$\sqrt{3} \sin x — \sqrt{2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x} = 0;$$ $$\sqrt{3} \sin x = \sqrt{2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x};$$ $$3 \sin^2 x = 2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x;$$ $$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\tg^2 x + 2 \tg x — 3 = 0;$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 + 2y — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\tg x = -3;$$ $$x = -\arctg 3 + \pi n;$$

Второе значение:

$$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x \geq 0;$$ $$D = 2^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 4 — 24 = -20 < 0;$$

$a = 2 > 0$, значит $x$ — любое число;

Уравнение имеет решения при:

$$\sqrt{3} \sin x \geq 0;$$ $$\sin x \geq 0;$$ $$x = \pi n;$$ $$2 \pi n \leq x \leq \pi + 2 \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + 2 \pi n; \, -\arctg 3 + \pi (2n + 1)}.$$

б)

$$\cos x + \sqrt{\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x} = 0;$$ $$\sqrt{\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x} = -\cos x;$$ $$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = \cos^2 x;$$ $$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\tg^2 x — 4 \tg x + 3 = 0;$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 — 4y + 3 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\tg x = 3;$$ $$x = \arctg 3 + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x \geq 0;$$ $$(\sin x — 2 \cos x)^2 \geq 0 \quad \text{при любом } x;$$

Уравнение имеет решения при:

$$-\cos x \geq 0;$$ $$\cos x \leq 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + 2 \pi n \leq x \leq \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{5 \pi}{4} + 2 \pi n; \, \arctg 3 + \pi (2n + 1)}.$$

a) Решение уравнения:

$$\sqrt{3} \sin x — \sqrt{2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x} = 0$$

Шаг 1: Избавление от квадратного корня.

Для начала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$$\left(\sqrt{3} \sin x\right)^2 = \left(\sqrt{2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x}\right)^2$$

Получаем:

$$3 \sin^2 x = 2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x$$

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону.

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$$3 \sin^2 x — 2 \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0$$

Упростим выражение:

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0$$

Шаг 3: Разделение на тангенс.

Для удобства решения разделим все члены на $\cos^2 x$, используя тождество $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Это даст:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2 \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — 3 = 0$$

Заменим $\frac{\sin x}{\cos x}$ на $\mathrm{tg}$$\tan x$:

$$\tan^2 x + 2 \tan x — 3 = 0$$

Теперь получаем квадратное уравнение относительно $\tan x$:

$$\tan^2 x + 2 \tan x — 3 = 0$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения.

Пусть $y = \tan x$. Тогда уравнение превращается в стандартное квадратное уравнение:

$$y^2 + 2y — 3 = 0$$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Шаг 5: Решение для $\tan x$.

Теперь находим решения для $\tan x$:

Для $\tan x = -3$:

$$x = -\arctg 3 + \pi n$$

Для $\tan x = 1$:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 6: Условия для решения.

Условие существования выражения.

Необходимо, чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным:

$$2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x \geq 0$$

Решим дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 4 — 24 = -20$$

Поскольку дискриминант отрицателен, выражение всегда больше или равно нулю, и оно всегда имеет смысл для всех значений $x$.

Условие для решений уравнения.

Также у нас есть условие для $\sqrt{3} \sin x \geq 0$, то есть:

$$\sin x \geq 0$$

Это условие выполняется для $x$ в интервале:

$$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n$$

Ответ:

Решения уравнения:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, \quad x = -\arctg 3 + \pi (2n + 1)$$

б) Решение уравнения:

$$\cos x + \sqrt{\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x} = 0$$

Шаг 1: Избавление от квадратного корня.

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$$\left( \cos x \right)^2 = \left( \sqrt{\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x} \right)^2$$

Получаем:

$$\cos^2 x = \sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x$$

Шаг 2: Переносим все члены на одну сторону.

Теперь переносим все члены на одну сторону:

$$\cos^2 x — \sin^2 x + 4 \sin x \cdot \cos x — 4 \cos^2 x = 0$$

Упростим:

$$-\sin^2 x + 4 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0$$

Шаг 3: Разделение на тангенс.

Разделим все члены на $\cos^2 x$ и заменим $\frac{\sin x}{\cos x}$ на $\tan x$:

$$-\tan^2 x + 4 \tan x — 3 = 0$$

Теперь получаем квадратное уравнение:

$$\tan^2 x — 4 \tan x + 3 = 0$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения.

Решаем квадратное уравнение:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$

Для дискриминанта:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Шаг 5: Решения для $\tan x$.

Для $\tan x = 1$:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Для $\tan x = 3$:

$$x = \arctg 3 + \pi n$$

Шаг 6: Условия для решения.

Условие существования выражения.

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x \geq 0$$

Это выражение можно записать как:

$$(\sin x — 2 \cos x)^2 \geq 0$$

Это выражение всегда выполняется для всех значений $x$, поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Условие для решений уравнения.

Необходимо, чтобы:

$$-\cos x \geq 0$$

Это означает, что $\cos x \leq 0$, что выполняется для значений $x$ в интервале:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

Решения уравнения:

$$x = \frac{5\pi}{4} + 2 \pi n, \quad x = \arctg 3 + \pi (2n + 1)$$