ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sqrt{3 \sin 5x — \cos^2 x — 3} = 1 — \sin x$;

б) $\sqrt{2 \cos 4x — \sin^2 x — 2} = 1 + \cos x$

а) $\sqrt{3 \sin 5x — \cos^2 x — 3} = 1 — \sin x$;

Выполняются следующие неравенства:

$$\sin 5x \leq 1;$$ $$\cos^2 x \geq 0;$$ $$3 \sin 5x — \cos^2 x — 3 \leq 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 5x = 1;$$ $$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5};$$

Второе уравнение:

$$\cos^2 x = 0;$$ $$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Третье уравнение:

$$1 — \sin x = 0;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$.

б) $\sqrt{2 \cos 4x — \sin^2 x — 2} = 1 + \cos x$;

Выполняются следующие неравенства:

$$\cos 4x \leq 1;$$ $$\sin^2 x \geq 0;$$ $$2 \cos 4x — \sin^2 x — 2 \leq 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 4x = 1;$$ $$4x = 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin^2 x = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Третье уравнение:

$$1 + \cos x = 0;$$ $$\cos x = -1;$$ $$x = \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $\boxed{\pi + 2\pi n}$.

а) Решение уравнения:

$$\sqrt{3 \sin 5x — \cos^2 x — 3} = 1 — \sin x$$

Шаг 1: Исследование неравенств.

Прежде чем начать решение, необходимо проанализировать, какие ограничения накладываются на переменные через неравенства.

Первое неравенство:

$$\sin 5x \leq 1$$

Синус всегда лежит в пределах от $-1$ до $1$, так что это неравенство выполняется для всех $x$, поскольку $\sin 5x$ также будет в этом диапазоне.

Второе неравенство:

$$\cos^2 x \geq 0$$

Это неравенство также выполняется для всех значений $x$, так как квадрат косинуса всегда неотрицателен.

Третье неравенство:

$$3 \sin 5x — \cos^2 x — 3 \leq 0$$

Преобразуем это неравенство:

$$3 \sin 5x \leq \cos^2 x + 3.$$

Поскольку $\cos^2 x \geq 0$, эта неравенство будет выполнено при значениях $\sin 5x$ в пределах от $-1$ до $1$. Следовательно, это условие также выполнено для всех значений $x$, так как левая часть выражения не выходит за пределы допустимых значений.

Таким образом, ограничения на $x$ не накладываются, и теперь можно переходить к решению уравнения.

Шаг 2: Избавление от квадратного корня.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$$\left( \sqrt{3 \sin 5x — \cos^2 x — 3} \right)^2 = (1 — \sin x)^2$$

Это дает:

$$3 \sin 5x — \cos^2 x — 3 = (1 — \sin x)^2$$

Раскроем квадрат на правой части:

$$3 \sin 5x — \cos^2 x — 3 = 1 — 2 \sin x + \sin^2 x$$

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$$3 \sin 5x — \cos^2 x — 3 — 1 + 2 \sin x — \sin^2 x = 0$$

Упростим:

$$3 \sin 5x — \cos^2 x — \sin^2 x — 4 + 2 \sin x = 0$$

Теперь раскроем $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ и подставим:

$$3 \sin 5x — (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x — 4 + 2 \sin x = 0$$

Упростим:

$$3 \sin 5x — 1 + \sin^2 x — \sin^2 x — 4 + 2 \sin x = 0$$ $$3 \sin 5x — 5 + 2 \sin x = 0$$

Шаг 3: Решение для $\sin 5x$.

Теперь решаем для $\sin 5x$:

$$3 \sin 5x = 5 — 2 \sin x$$ $$\sin 5x = \frac{5 — 2 \sin x}{3}$$

Это уравнение не является стандартным, но позволяет подставить определенные значения для $\sin x$, чтобы решить его. Рассмотрим наиболее очевидные решения для $\sin x$.

Шаг 4: Решение уравнений.

Первое уравнение:

$$\sin 5x = 1$$

Это уравнение имеет решение, когда:

$$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Разделим на 5:

$$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$$

Второе уравнение:

$$\cos^2 x = 0$$

Это уравнение даёт решение:

$$\cos x = 0$$

То есть:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Третье уравнение:

$$1 — \sin x = 0$$

Это уравнение даёт:

$$\sin x = 1$$

То есть:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 5: Ответ.

Объединяя все решения, получаем ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$$

б) Решение уравнения:

$$\sqrt{2 \cos 4x — \sin^2 x — 2} = 1 + \cos x$$

Шаг 1: Исследование неравенств.

Первое неравенство:

$$\cos 4x \leq 1$$

Это условие выполняется для всех $x$, так как $\cos 4x$ всегда лежит в диапазоне от $-1$ до $1$.

Второе неравенство:

$$\sin^2 x \geq 0$$

Это неравенство также выполняется для всех $x$, так как квадрат синуса всегда неотрицателен.

Третье неравенство:

$$2 \cos 4x — \sin^2 x — 2 \leq 0$$

Преобразуем это неравенство:

$$2 \cos 4x \leq \sin^2 x + 2$$

Поскольку $\sin^2 x \geq 0$, это условие выполняется для всех значений $x$, так как $2 \cos 4x$ будет в пределах от $-2$ до $2$.

Таким образом, все неравенства выполняются для всех $x$.

Шаг 2: Избавление от квадратного корня.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$\left( \sqrt{2 \cos 4x — \sin^2 x — 2} \right)^2 = (1 + \cos x)^2$$

Это даёт:

$$2 \cos 4x — \sin^2 x — 2 = 1 + 2 \cos x + \cos^2 x$$

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

$$2 \cos 4x — \sin^2 x — 2 — 1 — 2 \cos x — \cos^2 x = 0$$

Упростим:

$$2 \cos 4x — \sin^2 x — \cos^2 x — 3 — 2 \cos x = 0$$

Теперь подставим $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ и упростим:

$$2 \cos 4x — \sin^2 x — (1 — \sin^2 x) — 3 — 2 \cos x = 0$$

Упростим дальше:

$$2 \cos 4x — 1 + \sin^2 x — 3 — 2 \cos x = 0$$ $$2 \cos 4x + \sin^2 x — 4 — 2 \cos x = 0$$

Шаг 3: Решение уравнений.

Первое уравнение:

$$\cos 4x = 1$$

Это уравнение даёт:

$$4x = 2\pi n$$

Разделим на 4:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

Второе уравнение:

$$\sin^2 x = 0$$

Это уравнение даёт:

$$\sin x = 0$$

То есть:

$$x = \pi n$$

Третье уравнение:

$$1 + \cos x = 0$$

Это уравнение даёт:

$$\cos x = -1$$

То есть:

$$x = \pi + 2\pi n$$

Шаг 4: Ответ.

Объединяя все решения, получаем ответ:

$$\boxed{\pi + 2\pi n}$$