ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $4 \sin x \cdot \cos x — 1 > 2 \sin x — 2 \cos x$;

б) $1 + 2 \sin x \geq 4 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos x$

а) $4 \sin x \cdot \cos x — 1 > 2 \sin x — 2 \cos x$;

$4 \sin x \cdot \cos x — 2 \sin x + 2 \cos x — 1 > 0$;

$2 \sin x \cdot (2 \cos x — 1) + (2 \cos x — 1) > 0$;

$(2 \sin x + 1)(2 \cos x — 1) > 0$;

Первая пара неравенств:

$$\sin x > -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x_1 < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\cos x > \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x_2 < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Вторая пара неравенств:

$$\sin x < -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x_1 < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\cos x < \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{3} + 2\pi n < x_2 < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \quad \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $1 + 2 \sin x \geq 4 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos x$;

$4 \sin x \cdot \cos x — 2 \sin x + 2 \cos x — 1 \leq 0$;

$2 \sin x \cdot (2 \cos x — 1) + (2 \cos x — 1) \leq 0$;

$(2 \sin x + 1)(2 \cos x — 1) \leq 0$;

Первая пара неравенств:

$$\sin x \geq -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x_1 \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\cos x \leq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x_2 \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$$

Вторая пара неравенств:

$$\sin x \leq -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq x_1 \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\sin x \leq -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq x_1 \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\cos x \geq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x_2 \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

а) Решение неравенства:

$$4 \sin x \cdot \cos x — 1 > 2 \sin x — 2 \cos x$$

Шаг 1: Перенос всех членов на одну сторону.

Переносим все члены на одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду:

$$4 \sin x \cdot \cos x — 1 — 2 \sin x + 2 \cos x > 0$$

Упрощаем:

$$4 \sin x \cdot \cos x — 2 \sin x + 2 \cos x — 1 > 0$$

Шаг 2: Группировка с общими множителями.

Группируем выражения с общими множителями:

$$(2 \sin x) \cdot (2 \cos x — 1) + (2 \cos x — 1) > 0$$

Выносим общий множитель $(2 \cos x — 1)$:

$$(2 \sin x + 1)(2 \cos x — 1) > 0$$

Теперь неравенство привело нас к произведению двух выражений $(2 \sin x + 1)$ и $(2 \cos x — 1)$, которое должно быть больше нуля.

Шаг 3: Анализ неравенства.

Неравенство $(2 \sin x + 1)(2 \cos x — 1) > 0$ выполняется, если одно из следующих условий выполняется:

1. Первое условие: $2 \sin x + 1 > 0$ и $2 \cos x — 1 > 0$,
2. Второе условие: $2 \sin x + 1 < 0$ и $2 \cos x — 1 < 0$.

Решение для первого условия:

$2 \sin x + 1 > 0$ даёт:

$$\sin x > -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

$2 \cos x — 1 > 0$ даёт:

$$\cos x > \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом, для первого условия:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Решение для второго условия:

$2 \sin x + 1 < 0$ даёт:

$$\sin x < -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

$2 \cos x — 1 < 0$ даёт:

$$\cos x < \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом, для второго условия:

$$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Ответ.

Объединяя оба условия, получаем ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \quad \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) Решение неравенства:

$$1 + 2 \sin x \geq 4 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos x$$

Шаг 1: Перенос всех членов на одну сторону.

Переносим все члены на одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду:

$$1 + 2 \sin x — 4 \sin x \cdot \cos x — 2 \cos x \leq 0$$

Упрощаем:

$$4 \sin x \cdot \cos x — 2 \sin x + 2 \cos x — 1 \leq 0$$

Шаг 2: Группировка с общими множителями.

Группируем выражения с общими множителями:

$$(2 \sin x) \cdot (2 \cos x — 1) + (2 \cos x — 1) \leq 0$$

Выносим общий множитель $(2 \cos x — 1)$:

$$(2 \sin x + 1)(2 \cos x — 1) \leq 0$$

Теперь неравенство привело нас к произведению двух выражений $(2 \sin x + 1)$ и $(2 \cos x — 1)$, которое должно быть меньше или равно нулю.

Шаг 3: Анализ неравенства.

Неравенство $(2 \sin x + 1)(2 \cos x — 1) \leq 0$ выполняется, если одно из следующих условий выполняется:

1. Первое условие: $2 \sin x + 1 \geq 0$ и $2 \cos x — 1 \leq 0$,
2. Второе условие: $2 \sin x + 1 \leq 0$ и $2 \cos x — 1 \geq 0$.

Решение для первого условия:

$2 \sin x + 1 \geq 0$ даёт:

$$\sin x \geq -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

$2 \cos x — 1 \leq 0$ даёт:

$$\cos x \leq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом, для первого условия:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

Решение для второго условия:

$2 \sin x + 1 \leq 0$ даёт:

$$\sin x \leq -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

$2 \cos x — 1 \geq 0$ даёт:

$$\cos x \geq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом, для второго условия:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Ответ.

Объединяя оба условия, получаем ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$