ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x — 1 = 0$

б) $\operatorname{ctg}^2 2x — 6 \operatorname{ctg} 2x + 5 = 0$

в) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x — 2 = 0$

г) $7{\mathrm{ctg}}^2\frac{x}{2}+2\mathrm{ctg}\frac{x}{2}=5$

а)

$$3 \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x — 1 = 0$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$3y^2 + 2y — 1 = 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$y_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = -1$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}$$ $$x = \arctg \frac{1}{3} + \pi n$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctg \frac{1}{3} + \pi n$.

б)

$$\operatorname{ctg}^2 2x — 6 \operatorname{ctg} 2x + 5 = 0$$

Пусть $y = \operatorname{ctg} 2x$, тогда:

$$y^2 — 6y + 5 = 0$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \text{ и } y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Первое значение:

$$\operatorname{ctg} 2x = 1$$ $$2x = \operatorname{arcctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Второе значение:

$$\operatorname{ctg} 2x = 5$$ $$2x = \operatorname{arcctg} 5 + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 5 + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 5 + \frac{\pi n}{2}$.

в)

$$2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x — 2 = 0$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$2y^2 + 3y — 2 = 0$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = -2$$ $$x = -\arctg 2 + \pi n$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$$ $$x = \arctg \frac{1}{2} + \pi n$$

Ответ: $-\arctg 2 + \pi n; \arctg \frac{1}{2} + \pi n$.

г)

$$7 \operatorname{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = 5$$

Пусть $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$, тогда:

$$7y^2 + 2y — 5 = 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 7 \cdot 5 = 4 + 140 = 144, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{-2 — 12}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$$ $$y_2 = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$$

Первое значение:

$$\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = -1$$ $$\frac{x}{2} = (\pi — \operatorname{arcctg} 1) + \pi n = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

Второе значение:

$$\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{5}{7}$$ $$\frac{x}{2} = \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + \pi n$$ $$x = 2 \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + 2\pi n$$

Ответ: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; 2 \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + 2\pi n$.

а) $3 \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x — 1 = 0$

Преобразуем уравнение:

Исходное уравнение:

$$3 \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x — 1 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$, поэтому введём замену:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Уравнение примет вид:

$$3y^2 + 2y — 1 = 0$$

Это стандартное квадратное уравнение. Для его решения будем использовать формулу для дискриминанта $D$.

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения $3y^2 + 2y — 1 = 0$ находим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 3$, $b = 2$, $c = -1$:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$

Теперь, используя дискриминант, находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 — 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = -1, \quad y_2 = \frac{1}{3}$$

Решение для $y_1 = -1$:

Подставляем значение $y_1 = -1$ обратно в выражение для $y = \operatorname{tg} x$, получаем:

$$\operatorname{tg} x = -1$$

Значение $\operatorname{tg} x = -1$ соответствует углу $x = -\frac{\pi}{4}$ на интервале $[0, 2\pi]$. Так как тангенс имеет период $\pi$, все решения будут:

$$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Это два решения на каждом периоде $\pi$.

Решение для $y_2 = \frac{1}{3}$:

Подставляем значение $y_2 = \frac{1}{3}$:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}$$

Для этого значения находим:

$$x = \arctg \frac{1}{3} + \pi n$$

Это решение также имеет период $\pi$.

Ответ для части а):

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctg \frac{1}{3} + \pi n$$

б) $\operatorname{ctg}^2 2x — 6 \operatorname{ctg} 2x + 5 = 0$

Преобразуем уравнение:

Исходное уравнение:

$$\operatorname{ctg}^2 2x — 6 \operatorname{ctg} 2x + 5 = 0$$

Пусть:

$$y = \operatorname{ctg} 2x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 6y + 5 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения $y^2 — 6y + 5 = 0$ вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{6 — 4}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = 1, \quad y_2 = 5$$

Решение для $y_1 = 1$:

Подставляем $y_1 = 1$ в $\operatorname{ctg} 2x = 1$:

$$2x = \operatorname{arcctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Решение для $y_2 = 5$:

Подставляем $y_2 = 5$ в $\operatorname{ctg} 2x = 5$:

$$2x = \operatorname{arcctg} 5 + \pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 5 + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для части б):

$$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 5 + \frac{\pi n}{2}$$

в) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x — 2 = 0$

Преобразуем уравнение:

Исходное уравнение:

$$2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x — 2 = 0$$

Пусть:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2y^2 + 3y — 2 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения $2y^2 + 3y — 2 = 0$ вычислим дискриминант $D$:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 — 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = -2, \quad y_2 = \frac{1}{2}$$

Решение для $y_1 = -2$:

Подставляем $y_1 = -2$ в $\operatorname{tg} x = -2$:

$$x = -\arctg 2 + \pi n$$

Решение для $y_2 = \frac{1}{2}$:

Подставляем $y_2 = \frac{1}{2}$ в $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$:

$$x = \arctg \frac{1}{2} + \pi n$$

Ответ для части в):

$$-\arctg 2 + \pi n; \arctg \frac{1}{2} + \pi n$$

г) $7 \operatorname{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = 5$

Преобразуем уравнение:

Исходное уравнение:

$$7 \operatorname{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = 5$$

Пусть:

$$y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$7y^2 + 2y — 5 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения $7y^2 + 2y — 5 = 0$ вычислим дискриминант $D$:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 7 \cdot 5 = 4 + 140 = 144$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$$

Решение для $y_1 = -1$:

Подставляем $y_1 = -1$ в $\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = -1$:

$$\frac{x}{2} = (\pi — \operatorname{arcctg} 1) + \pi n = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Умножим обе части на 2:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

Решение для $y_2 = \frac{5}{7}$:

Подставляем $y_2 = \frac{5}{7}$ в $\operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{5}{7}$:

$$\frac{x}{2} = \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + \pi n$$

Умножим обе части на 2:

$$x = 2 \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + 2\pi n$$

Ответ для части г):

$$\frac{3\pi}{2} + 2\pi n; 2 \operatorname{arcctg} \frac{5}{7} + 2\pi n$$