ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $4 \sin^2 x — 2(\sqrt{3} — 1) \cdot \sin x — \sqrt{3} < 0$;

б) $4 \cos^2 x — 2(\sqrt{3} + 1) \cdot \cos x + \sqrt{3} \geq 0$

а) $4 \sin^2 x — 2(\sqrt{3} — 1) \cdot \sin x — \sqrt{3} < 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:
$4y^2 — 2(\sqrt{3} — 1)y — \sqrt{3} < 0;$

Дискриминант:
$D = 4(\sqrt{3} — 1)^2 + 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 4(3 — 2\sqrt{3} + 1 + 4\sqrt{3}) = 4(\sqrt{3} + 1)^2;$

Корни уравнения:
$y_1 = \frac{2(\sqrt{3} — 1) — 2(\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$
$y_2 = \frac{2(\sqrt{3} — 1) + 2(\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

Разложение на множители:
$\left( y + \frac{1}{2} \right) \left( y — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) < 0;$

Решение неравенства:
$-\frac{1}{2} < y < \frac{\sqrt{3}}{2};$

Первое неравенство:
$\sin x > -\frac{1}{2};$
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$

Второе неравенство:
$\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$
$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$

Ответ:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \quad \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$

б) $4 \cos^2 x — 2(\sqrt{3} + 1) \cdot \cos x + \sqrt{3} \geq 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:
$4y^2 — 2(\sqrt{3} + 1)y + \sqrt{3} \geq 0;$

Дискриминант:
$D = 4(\sqrt{3} + 1)^2 — 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 4(3 + 2\sqrt{3} + 1 — 4\sqrt{3}) = 4(\sqrt{3} — 1)^2;$

Корни уравнения:
$y_1 = \frac{2(\sqrt{3} + 1) — 2(\sqrt{3} — 1)}{2 \cdot 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$
$y_2 = \frac{2(\sqrt{3} + 1) + 2(\sqrt{3} — 1)}{2 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

Разложение на множители:
$\left( y — \frac{1}{2} \right) \left( y — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \geq 0;$

Решение неравенства:
$y \leq \frac{1}{2} \text{ и } y \geq \frac{\sqrt{3}}{2};$

Первое неравенство:
$\cos x \leq \frac{1}{2};$
$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$

Второе неравенство:
$\cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2};$
$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$

Ответ:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n; \quad -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$

а) $4 \sin^2 x — 2(\sqrt{3} — 1) \cdot \sin x — \sqrt{3} < 0$

1) Введение и замена переменной

Мы видим неравенство с функцией $\sin x$. Для упрощения работы с этим выражением введем замену:

Пусть $y = \sin x$. Тогда неравенство примет вид:

$$4y^2 — 2(\sqrt{3} — 1)y — \sqrt{3} < 0$$

Теперь решим это квадратное неравенство относительно $y$.

2) Вычисление дискриминанта

Для решения квадратного неравенства сначала найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения:

$$4y^2 — 2(\sqrt{3} — 1)y — \sqrt{3} = 0$$

Дискриминант для квадратичного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае:

• $a = 4$,
• $b = -2(\sqrt{3} — 1)$,
• $c = -\sqrt{3}$.

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = \left( -2(\sqrt{3} — 1) \right)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-\sqrt{3})$$ $$D = 4(\sqrt{3} — 1)^2 + 16\sqrt{3}$$

Теперь раскроем квадрат:

$$(\sqrt{3} — 1)^2 = 3 — 2\sqrt{3} + 1 = 4 — 2\sqrt{3}$$

Подставим это значение в выражение для дискриминанта:

$$D = 4(4 — 2\sqrt{3}) + 16\sqrt{3}$$ $$D = 16 — 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3}$$ $$D = 16 + 8\sqrt{3}$$

Итак, дискриминант равен $D = 4(\sqrt{3} + 1)^2$.

3) Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь найдём корни квадратного уравнения $4y^2 — 2(\sqrt{3} — 1)y — \sqrt{3} = 0$ с использованием формулы для корней:

$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y_{1,2} = \frac{-(-2(\sqrt{3} — 1)) \pm \sqrt{4(\sqrt{3} + 1)^2}}{2 \cdot 4}$$ $$y_{1,2} = \frac{2(\sqrt{3} — 1) \pm 2(\sqrt{3} + 1)}{8}$$ $$y_1 = \frac{2(\sqrt{3} — 1) — 2(\sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{2(\sqrt{3} — 1) + 2(\sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{2\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

Таким образом, корни уравнения:

$$y_1 = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

4) Разложение на множители

Теперь разложим исходное выражение на множители:

$$4y^2 — 2(\sqrt{3} — 1)y — \sqrt{3} = (y + \frac{1}{2})(y — \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$$

Теперь мы можем решить неравенство:

$$(y + \frac{1}{2})(y — \frac{\sqrt{3}}{2}) < 0$$

Это неравенство будет выполняться, если $y$ лежит между корнями:

$$-\frac{1}{2} < y < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

5) Решение неравенства для $\sin x$

Заменим $y$ обратно на $\sin x$:

$$-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решим эти два неравенства отдельно:

Первое неравенство: $\sin x > -\frac{1}{2}$.

Решение этого неравенства:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n$$

Значение $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, поэтому:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Решение первого неравенства:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

Второе неравенство: $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение этого неравенства:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n$$

Значение $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Решение второго неравенства:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

6) Объединение решений

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

б) $4 \cos^2 x — 2(\sqrt{3} + 1) \cdot \cos x + \sqrt{3} \geq 0$

1) Введение и замена переменной

Для упрощения, введем замену:

Пусть $y = \cos x$, тогда неравенство примет вид:

$$4y^2 — 2(\sqrt{3} + 1)y + \sqrt{3} \geq 0$$

Решим это квадратное неравенство относительно $y$.

2) Вычисление дискриминанта

Для этого находим дискриминант соответствующего квадратного уравнения:

$$D = b^2 — 4ac$$

где:

• $a = 4$,
• $b = -2(\sqrt{3} + 1)$,
• $c = \sqrt{3}$.

Подставим значения:

$$D = \left( -2(\sqrt{3} + 1) \right)^2 — 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}$$ $$D = 4(\sqrt{3} + 1)^2 — 16\sqrt{3}$$

Теперь раскроем квадрат:

$$(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$$

Подставим это в выражение для дискриминанта:

$$D = 4(4 + 2\sqrt{3}) — 16\sqrt{3}$$ $$D = 16 + 8\sqrt{3} — 16\sqrt{3}$$ $$D = 16 — 8\sqrt{3}$$

3) Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь найдём корни уравнения:

$$4y^2 — 2(\sqrt{3} + 1)y + \sqrt{3} = 0$$

Используя формулу для корней, получаем:

$$y_1 = \frac{2(\sqrt{3} + 1) — 2(\sqrt{3} — 1)}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{2(\sqrt{3} + 1) + 2(\sqrt{3} — 1)}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

4) Разложение на множители

Получаем разложение:

$$\left( y — \frac{1}{2} \right) \left( y — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \geq 0$$

5) Решение неравенства

Решение этого неравенства:

$$y \leq \frac{1}{2} \text{ или } y \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Заменим $y$ обратно на $\cos x$:

$$\cos x \leq \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

6) Решение неравенств для $\cos x$

Первое неравенство: $\cos x \leq \frac{1}{2}$.

Решение:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Второе неравенство: $\cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

7) Объединение решений

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$