ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin x-\cos x>0$

б) $\sin x-\sqrt{3}\cos x\le 0$

в) $\sin x+\cos x<0$

г) $\sqrt{3}\sin x+\cos x\ge 0$

а) $\sin x — \cos x > 0 \quad | : \cos x$;

Если $\cos x = 0$, тогда:

$$\sin x > 0;$$ $$2\pi n < x < \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$\operatorname{tg} x — 1 < 0;$$ $$\operatorname{tg} x < 1;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n;$$

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$\operatorname{tg} x — 1 > 0;$$ $$\operatorname{tg} x > 1;$$ $$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

б) $\sin x — \sqrt{3} \cos x \leq 0 \quad | : \cos x$;

Если $\cos x = 0$, тогда:

$$\sin x \leq 0;$$ $$-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$\operatorname{tg} x — \sqrt{3} \geq 0;$$ $$\operatorname{tg} x \geq \sqrt{3};$$ $$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq x < -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$\operatorname{tg} x — \sqrt{3} \leq 0;$$ $$\operatorname{tg} x \leq \sqrt{3};$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

в) $\sin x + \cos x < 0 \quad | : \cos x$;

Если $\cos x = 0$, тогда:

$$\sin x < 0;$$ $$\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$\operatorname{tg} x + 1 > 0;$$ $$\operatorname{tg} x > -1;$$ $$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$\operatorname{tg} x + 1 < 0;$$ $$\operatorname{tg} x < -1;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\frac{3\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$$

г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x \geq 0 \quad | : \cos x$;

Если $\cos x = 0$, тогда:

$$\sqrt{3} \sin x \geq 0;$$ $$\sin x \geq 0;$$ $$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 \leq 0;$$ $$\operatorname{tg} x \leq -\frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 \geq 0;$$ $$\operatorname{tg} x \geq -\frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$-\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

а) $\sin x — \cos x > 0 \quad | : \cos x$;

Шаг 1: Анализ неравенства

Начнем с того, что неравенство:

$$\sin x — \cos x > 0$$

можно разделить на два случая: когда $\cos x$ положительно, и когда $\cos x$ отрицательно.

Для удобства делим обе части неравенства на $\cos x$. Однако, стоит помнить, что деление на $\cos x$ изменяет знак неравенства в зависимости от того, положительное ли оно, или отрицательное.

Шаг 2: Анализ случая $\cos x = 0$

Если $\cos x = 0$, то:

$$\sin x — \cos x > 0 \quad \text{превращается в} \quad \sin x > 0.$$

Это значит, что $x$ должно лежать в интервале от $0$ до $\pi$, то есть:

$$2\pi n < x < \pi + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Таким образом, для $\cos x = 0$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Шаг 3: Анализ случая $\cos x < 0$

Если $\cos x < 0$, то мы можем разделить исходное неравенство на $\cos x$, и неравенство будет изменяться в зависимости от знака:

$$\frac{\sin x}{\cos x} — 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x — 1 < 0.$$

Это означает, что:

$$\operatorname{tg} x < 1.$$

Решение этого неравенства для $x$, когда $\cos x < 0$, дает интервал:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Но поскольку $\cos x < 0$, то этот интервал может быть записан следующим образом:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Анализ случая $\cos x > 0$

Если $\cos x > 0$, то:

$$\frac{\sin x}{\cos x} — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x > 1.$$

Решение этого неравенства:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Но так как $\cos x > 0$, то этот интервал можно записать как:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 5: Итоговое решение

Объединив все найденные интервалы, получаем:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

б) $\sin x — \sqrt{3} \cos x \leq 0 \quad | : \cos x$;

Шаг 1: Анализ неравенства

Итак, исходное неравенство:

$$\sin x — \sqrt{3} \cos x \leq 0$$

пишется в виде:

$$\sin x \leq \sqrt{3} \cos x.$$

Разделив обе части неравенства на $\cos x$ (что возможно при $\cos x \neq 0$), получаем:

$$\frac{\sin x}{\cos x} \leq \sqrt{3}.$$

Это означает:

$$\operatorname{tg} x \leq \sqrt{3}.$$

Теперь решим это неравенство в зависимости от знака $\cos x$.

Шаг 2: Анализ случая $\cos x = 0$

Если $\cos x = 0$, то:

$$\sin x \leq 0.$$

Это означает, что $x$ лежит на интервале от $-\pi$ до $0$, то есть:

$$-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n.$$

Также:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Анализ случая $\cos x < 0$

Если $\cos x < 0$, то:

$$\operatorname{tg} x — \sqrt{3} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x \geq \sqrt{3}.$$

Решение этого неравенства:

$$\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Таким образом:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq x < -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Анализ случая $\cos x > 0$

Если $\cos x > 0$, то:

$$\operatorname{tg} x — \sqrt{3} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x \leq \sqrt{3}.$$

Решение этого неравенства:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Таким образом:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 5: Итоговое решение

Объединяя все интервалы, получаем:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

в) $\sin x + \cos x < 0 \quad | : \cos x$;

Шаг 1: Анализ неравенства

Исходное неравенство:

$$\sin x + \cos x < 0$$

пишется в виде:

$$\sin x < -\cos x.$$

Делим обе части на $\cos x$, получаем:

$$\frac{\sin x}{\cos x} < -1.$$

Это означает:

$$\operatorname{tg} x < -1.$$

Шаг 2: Анализ случая $\cos x = 0$

Если $\cos x = 0$, то:

$$\sin x < 0.$$

Это означает:

$$\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n.$$

Также:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Анализ случая $\cos x < 0$

Если $\cos x < 0$, то:

$$\operatorname{tg} x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x > -1.$$

Решение этого неравенства:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Таким образом:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Анализ случая $\cos x > 0$

Если $\cos x > 0$, то:

$$\operatorname{tg} x + 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x < -1.$$

Решение этого неравенства:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Таким образом:

$$\frac{3\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 5: Итоговое решение

Объединяя все интервалы, получаем:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$$

г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x \geq 0 \quad | : \cos x$;

Шаг 1: Анализ неравенства

Исходное неравенство:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x \geq 0$$

пишется в виде:

$$\sqrt{3} \sin x \geq -\cos x.$$

Делим обе части на $\cos x$, получаем:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 \geq 0.$$

Это означает:

$$\operatorname{tg} x \geq -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Шаг 2: Анализ случая $\cos x = 0$

Если $\cos x = 0$, то:

$$\sqrt{3} \sin x \geq 0.$$

Это означает:

$$\sin x \geq 0.$$

Таким образом:

$$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n.$$

Также:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Анализ случая $\cos x < 0$

Если $\cos x < 0$, то:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x \leq -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Решение этого неравенства:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq -\frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Таким образом:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Анализ случая $\cos x > 0$

Если $\cos x > 0$, то:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x \geq -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Решение этого неравенства:

$$-\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Таким образом:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 5: Итоговое решение

Объединяя все интервалы, получаем:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$