ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $| \sin x | \cdot ( \cos x + 2 \sin x ) = 2 — 2 \cos^2 x$;

б) $| \cos x | \cdot ( 2 \cos x — 3 \sin x ) = 2$

а) $| \sin x | \cdot ( \cos x + 2 \sin x ) = 2 — 2 \cos^2 x$;

Одно из решений:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Если $\sin x > 0$, тогда:

$$\sin x \cdot ( \cos x + 2 \sin x ) = 2 — 2 \cos^2 x;$$ $$\sin x \cdot \cos x + 2 \sin^2 x = 2 \sin^2 x;$$ $$\sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Если $\sin x < 0$, тогда:

$$-\sin x \cdot ( \cos x + 2 \sin x ) = 2 — 2 \cos^2 x;$$ $$-\sin x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x = 2 \sin^2 x;$$ $$4 \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0 \quad \big| : \sin^2 x;$$ $$4 + \operatorname{ctg} x = 0;$$ $$\operatorname{ctg} x = -4;$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{4};$$ $$x = \arctg \frac{1}{4} + \pi n;$$ $$x = -\arctg \frac{1}{4} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = -\arctg \frac{1}{4} + 2\pi n; \quad x = \pi n.$$

б) $| \cos x | \cdot ( 2 \cos x — 3 \sin x ) = 2$;

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$\cos x \cdot ( 2 \cos x — 3 \sin x ) = 2;$$ $$2 \cos^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x = 2 \cos^2 x + 2 \sin^2 x;$$ $$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x = 0 \quad \big| : \sin^2 x;$$ $$2 + 3 \operatorname{ctg} x = 0;$$ $$\operatorname{ctg} x = -\frac{2}{3};$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2};$$ $$x = -\arctg 1,5 + \pi n;$$ $$x = -\arctg 1,5 + 2\pi n;$$

Одно из решений:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$ $$x = 2\pi n;$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$-\cos x \cdot ( 2 \cos x — 3 \sin x ) = 2;$$ $$-2 \cos^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x = 2 \cos^2 x + 2 \sin^2 x;$$ $$2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 0 \quad \big| : \cos^2 x;$$ $$2 \operatorname{tg}^2 x — 3 \operatorname{tg} x + 4 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23;$$ $$D < 0 \quad \text{— корней нет};$$

Ответ:

$$x = -\arctg 1,5 + 2\pi n; \quad x = 2\pi n.$$

а) $| \sin x | \cdot ( \cos x + 2 \sin x ) = 2 — 2 \cos^2 x$;

Дано уравнение:

$$| \sin x | \cdot ( \cos x + 2 \sin x ) = 2 — 2 \cos^2 x.$$

Будем рассматривать три случая в зависимости от значения $\sin x$ — $\sin x = 0$, $\sin x > 0$, и $\sin x < 0$.

1) Одно из решений: $\sin x = 0$

Если $\sin x = 0$, то подставляем это значение в исходное уравнение:

$$| 0 | \cdot ( \cos x + 2 \cdot 0 ) = 2 — 2 \cos^2 x.$$

Это выражение сводится к:

$$0 = 2 — 2 \cos^2 x.$$

Решим это уравнение:

$$2 \cos^2 x = 2,$$ $$\cos^2 x = 1.$$

Это означает, что $\cos x = \pm 1$, а значит:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ для этого случая:

$$x = \pi n.$$

2) Если $\sin x > 0$

Когда $\sin x > 0$, можно убрать знак модуля, так как $| \sin x | = \sin x$. Тогда уравнение будет следующим:

$$\sin x \cdot ( \cos x + 2 \sin x ) = 2 — 2 \cos^2 x.$$

Раскроем скобки на левой стороне:

$$\sin x \cdot \cos x + 2 \sin^2 x = 2 — 2 \cos^2 x.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$\sin x \cdot \cos x + 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x = 2.$$

Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, чтобы упростить выражение:

$$\sin x \cdot \cos x + 2 \cdot 1 = 2,$$ $$\sin x \cdot \cos x + 2 = 2,$$ $$\sin x \cdot \cos x = 0.$$

Теперь решим это уравнение:

$$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = 0.$$

Рассмотрим каждое из этих случаев:

• Если $\sin x = 0$, то мы уже нашли, что $x = \pi n$.
• Если $\cos x = 0$, то:

  $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Так как мы рассматривали случай, при котором $\sin x > 0$, то из $\cos x = 0$ получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ для этого случая:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

3) Если $\sin x < 0$

Когда $\sin x < 0$, знак модуля меняется, и уравнение принимает вид:

$$-\sin x \cdot ( \cos x + 2 \sin x ) = 2 — 2 \cos^2 x.$$

Раскроем скобки на левой стороне:

$$-\sin x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x = 2 — 2 \cos^2 x.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$-\sin x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x = 2.$$

Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для замены $\cos^2 x$ на $1 — \sin^2 x$:

$$-\sin x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x + 2 (1 — \sin^2 x) = 2,$$ $$-\sin x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x + 2 — 2 \sin^2 x = 2,$$ $$-\sin x \cdot \cos x — 4 \sin^2 x + 2 = 2,$$ $$-\sin x \cdot \cos x — 4 \sin^2 x = 0.$$

Теперь делим обе стороны на $\sin^2 x$:

$$— \frac{\cos x}{\sin x} — 4 = 0.$$

Преобразуем это выражение:

$$\operatorname{ctg} x = -4.$$

Теперь находим $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{4}.$$

Ответ для $x$:

$$x = \arctg \left( \frac{1}{4} \right) + \pi n, \quad x = -\arctg \left( \frac{1}{4} \right) + 2\pi n.$$

Ответ для этого случая:

$$x = -\arctg \frac{1}{4} + 2\pi n.$$

Ответы для всех случаев:

• $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
• $x = -\arctg \frac{1}{4} + 2\pi n$.
• $x = \pi n$.

б) $| \cos x | \cdot ( 2 \cos x — 3 \sin x ) = 2$;

Дано уравнение:

$$| \cos x | \cdot ( 2 \cos x — 3 \sin x ) = 2.$$

Будем рассматривать три случая: $\cos x = 0$, $\cos x > 0$, и $\cos x < 0$.

1) Если $\cos x > 0$

Когда $\cos x > 0$, убираем знак модуля, так как $| \cos x | = \cos x$. Уравнение будет:

$$\cos x \cdot ( 2 \cos x — 3 \sin x ) = 2.$$

Раскроем скобки на левой стороне:

$$2 \cos^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x = 2.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$2 \cos^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x — 2 = 0.$$

Теперь воспользуемся заменой $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ и подставим её в уравнение:

$$2 (1 — \sin^2 x) — 3 \sin x \cdot \cos x — 2 = 0.$$$$2 (1 — \sin^2 x) — 3 \sin x \cdot \cos x — 2 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$2 — 2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x — 2 = 0.$$

Упростим:

$$-2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x = 0.$$

Теперь разделим обе части на $\sin^2 x$:

$$-2 — 3 \operatorname{ctg} x = 0.$$

Преобразуем это выражение:

$$\operatorname{ctg} x = -\frac{2}{3}.$$

Теперь найдём $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}.$$

Таким образом, получаем:

$$x = -\arctg 1.5 + \pi n.$$

Ответ для этого случая:

$$x = -\arctg 1,5 + 2\pi n.$$

2) Одно из решений: $\sin x = 0$

Рассмотрим случай, когда $\sin x = 0$. Подставляем это в исходное уравнение:

$$| \cos x | \cdot ( 2 \cos x — 3 \cdot 0 ) = 2.$$

Это уравнение упрощается:

$$| \cos x | \cdot 2 \cos x = 2.$$

Поскольку $| \cos x | = \cos x$ для $\cos x > 0$, то:

$$2 \cos^2 x = 2.$$

Решим это уравнение:

$$\cos^2 x = 1.$$

Следовательно:

$$\cos x = \pm 1.$$

Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi n$.
Если $\cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi n$.

Ответ для этого случая:

$$x = 2\pi n.$$

3) Если $\cos x < 0$

Когда $\cos x < 0$, то знак модуля меняется, и уравнение принимает вид:

$$-\cos x \cdot ( 2 \cos x — 3 \sin x ) = 2.$$

Раскроем скобки на левой стороне:

$$-2 \cos^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x = 2.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$-2 \cos^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x — 2 = 0.$$

Теперь используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и заменим $\cos^2 x$ на $1 — \sin^2 x$:

$$-2 (1 — \sin^2 x) + 3 \sin x \cdot \cos x — 2 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$-2 + 2 \sin^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x — 2 = 0.$$

Упростим:

$$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x — 4 = 0.$$

Теперь, применяя замену $\cos x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$, получаем квадратное уравнение:

$$2 \operatorname{tg}^2 x — 3 \operatorname{tg} x + 4 = 0.$$

Вычислим дискриминант для этого уравнения:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23.$$

Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), то корней у этого уравнения нет.

Ответ для этого случая:

$$\text{корней нет.}$$

Ответы для всех случаев в части б):

• $x = -\arctg 1,5 + 2\pi n$.
• $x = 2\pi n$.

$$x = -\arctg 1,5 + 2\pi n; \quad x = 2\pi n.$$