ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\frac{2{\cos }^{2}x+5\mathrm{\mid }\cos x\mathrm{\mid }-3}{2\sin x+\sqrt{3}}=0;$$

б)$$\frac{2{\sin }^{2}x+\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }-1}{4{\cos }^{2}x-3}=0$$

а)

$$\frac{2 \cos^2 x + 5 |\cos x| — 3}{2 \sin x + \sqrt{3}} = 0;$$ $$2 \cos^2 x + 5 |\cos x| — 3 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 + 5 |y| — 3 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49;$$

Если $y < 0$, тогда:

$$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 > 0;$$ $$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Если $y > 0$, тогда:

$$y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 < 0;$$ $$y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2 \sin x + \sqrt{3} \neq 0;$$ $$2 \sin x \neq -\sqrt{3};$$ $$\sin x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x \neq (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x_1 \neq (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$x_2 \neq (-1)^{2k+2} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k+1) = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k;$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \, x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

б)

$$\frac{2 \sin^2 x + |\sin x| — 1}{4 \cos^2 x — 3} = 0;$$ $$2 \sin^2 x + |\sin x| — 1 = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$2y^2 + |y| — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9;$$

Если $y < 0$, тогда:

$$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 > 0;$$ $$\sin x = -\frac{1}{2};$$

Если $y > 0$, тогда:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 < 0;$$ $$y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$4 \cos^2 x — 3 \neq 0;$$ $$4 — 4 \sin^2 x \neq 3;$$ $$4 \sin^2 x \neq 1;$$ $$\sin^2 x \neq \frac{1}{4};$$ $$\sin x \neq \pm \frac{1}{2};$$

Ответ: корней нет.

а) Рассмотрим уравнение:

$$\frac{2 \cos^2 x + 5 |\cos x| — 3}{2 \sin x + \sqrt{3}} = 0.$$

1. Упростим уравнение

Числитель дроби должен быть равен нулю, так как знаменатель не может быть равен нулю, чтобы дробь была определена.

$$2 \cos^2 x + 5 |\cos x| — 3 = 0.$$

Теперь решим это уравнение для $\cos x$.

2. Подставим $y = \cos x$

Для упрощения введем замену переменной:

$$y = \cos x.$$

Подставляем $y$ в исходное уравнение:

$$2y^2 + 5|y| — 3 = 0.$$

Рассмотрим два случая для $|y|$: $y \geq 0$ и $y < 0$.

2.1. Рассмотрим случай, когда $y \geq 0$ (то есть $|y| = y$).

Уравнение принимает вид:

$$2y^2 + 5y — 3 = 0.$$

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 — 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3,$$ $$y_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

Так как $y = \cos x \geq 0$, то выбираем $y_2 = \frac{1}{2}$.

Следовательно:

$$\cos x = \frac{1}{2}.$$

Решение уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ дается выражением:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n.$$

Известно, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

2.2. Рассмотрим случай, когда $y < 0$ (то есть $|y| = -y$).

Теперь уравнение примет вид:

$$2y^2 — 5y — 3 = 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.$$

Корни этого уравнения:

$$y_1 = \frac{5 — 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2},$$ $$y_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3.$$

Так как $y = \cos x < 0$, то выбираем $y_1 = -\frac{1}{2}$.

Следовательно:

$$\cos x = -\frac{1}{2}.$$

Решение уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ дается выражением:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n.$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, то:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

3. Проверка ограничения для знаменателя

Чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен быть равен нулю:

$$2 \sin x + \sqrt{3} \neq 0.$$

Из этого следует:

$$2 \sin x \neq -\sqrt{3},$$ $$\sin x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Таким образом, $x \neq (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n$, где:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Тогда:

$$x_1 \neq (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k,$$ $$x_2 \neq (-1)^{2k+2} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k+1) = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k.$$

4. Ответ для части а)

Теперь мы можем записать окончательные решения:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

б) Рассмотрим уравнение:

$$\frac{2 \sin^2 x + |\sin x| — 1}{4 \cos^2 x — 3} = 0.$$

1. Упростим уравнение

Аналогично предыдущей задаче, числитель должен быть равен нулю:

$$2 \sin^2 x + |\sin x| — 1 = 0.$$

2. Подставим $y = \sin x$

Пусть $y = \sin x$. Подставим $y$ в уравнение:

$$2y^2 + |y| — 1 = 0.$$

Рассмотрим два случая для $|y|$: $y \geq 0$ и $y < 0$.

2.1. Рассмотрим случай, когда $y \geq 0$ (то есть $|y| = y$).

Уравнение принимает вид:

$$2y^2 + y — 1 = 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1,$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

Так как $y = \sin x \geq 0$, то выбираем $y_2 = \frac{1}{2}$.

Следовательно:

$$\sin x = \frac{1}{2}.$$

Решение уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ дается выражением:

$$x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n.$$

Так как $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, то:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

2.2. Рассмотрим случай, когда $y < 0$ (то есть $|y| = -y$).

Уравнение принимает вид:

$$2y^2 — y — 1 = 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{1 — 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2},$$ $$y_2 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$

Так как $y = \sin x < 0$, то выбираем $y_1 = -\frac{1}{2}$.

Следовательно:

$$\sin x = -\frac{1}{2}.$$

Решение уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ дается выражением:

$$x = \pm \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n.$$

Так как $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, то:

$$x = \pm \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

3. Проверка ограничения для знаменателя

Чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен быть равен нулю:

$$4 \cos^2 x — 3 \neq 0.$$

Из этого следует:

$$\cos^2 x \neq \frac{3}{4},$$ $$\cos x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

4. Ответ для части б)

Поскольку корни из $\sin x$ не пересекаются с ограничениями для $\cos x$, то корней не существует.

Ответ: корней нет.