ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

$${\cos }^{2}3x-2\cos 2x\cdot \cos 3x+1=0$$

Решить уравнение:

$$\cos^2 3x — 2 \cos 2x \cdot \cos 3x + 1 = 0;$$

Выполняются следующие неравенства:

$$\cos 2x \leq 1;$$ $$\cos^2 3x — 2 \cos 2x \cdot \cos 3x + 1 \geq \cos^2 3x — 2 \cos 3x + 1;$$

Рассмотрим функцию:

$$y = \cos^2 3x — 2 \cos 3x + 1;$$ $$y = t^2 — 2t + 1, \quad t \in [-1; 1];$$ $$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4};$$ $$y(-1) = (-1)^2 — 2 \cdot (-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4;$$ $$y\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 — 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) + 1 = \frac{1}{16} — \frac{8}{16} + 1 = \frac{9}{16};$$ $$y(1) = 1^2 — 2 \cdot 1 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0;$$ $$y_{\text{наим}} = y(1) = 0;$$

Выполняются следующие неравенства:

$$\cos^2 3x — 2 \cos 3x + 1 \geq 0;$$ $$\cos^2 3x — 2 \cos 2x \cdot \cos 3x + 1 \geq 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 1;$$ $$2x = 2\pi n;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos 3x = 1;$$ $$3x = 2\pi n;$$ $$x = \frac{2\pi n}{3};$$

Ответ: $x = 2\pi n$.

Дано уравнение:

$$\cos^2 3x — 2 \cos 2x \cdot \cos 3x + 1 = 0$$

Наша задача — решить это уравнение. Мы будем следовать шаг за шагом, проводя все необходимые преобразования и уточнения на каждом этапе.

1. Анализ и представление уравнения

Рассмотрим исходное уравнение:

$$\cos^2 3x — 2 \cos 2x \cdot \cos 3x + 1 = 0$$

Прежде чем решать его, заметим, что это уравнение связано с выражениями для косинусов углов, которые могут быть преобразованы с помощью известных тригонометрических тождеств. Однако для начала рассмотрим важное свойство косинуса:

$$\cos \theta \leq 1 \quad \text{для всех} \quad \theta.$$

Таким образом, можно заключить, что для всех значений углов косинус не будет превышать 1. Давайте теперь исследуем это уравнение в контексте его преобразования и дальнейшего решения.

2. Упрощение выражения с использованием неравенств

Проанализируем, какие неравенства могут выполняться для данного уравнения. Начнем с первого:

$$\cos 2x \leq 1.$$

Это очевидно, так как для любого угла $x$ косинус не может превышать единицу. Теперь рассмотрим следующее неравенство, полученное из исходного уравнения:

$$\cos^2 3x — 2 \cos 2x \cdot \cos 3x + 1 \geq \cos^2 3x — 2 \cos 3x + 1.$$

Здесь мы используем то, что $\cos 2x \leq 1$, а значит, выражение $— 2 \cos 2x \cdot \cos 3x$ будет меньше или равно выражению $— 2 \cos 3x$, если $\cos 2x \leq 1$.

3. Рассмотрение функции

Теперь перейдем к анализу функции, которая поможет упростить дальнейшие шаги решения:

$$y = \cos^2 3x — 2 \cos 3x + 1.$$

Обозначим $t = \cos 3x$, тогда функция примет вид:

$$y = t^2 — 2t + 1.$$

Теперь рассматриваем область определения $t \in [-1; 1]$, так как $t = \cos 3x$, и для косинуса его значения лежат в этом интервале.

Для нахождения экстремума функции $y(t)$ найдем ее производную и решим уравнение для нахождения критической точки:

$$\frac{dy}{dt} = 2t — 2.$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:

$$2t — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 1.$$

Таким образом, функция имеет критическую точку в $t = 1$. Теперь проанализируем значения функции в краевых точках и в критической точке.

• При $t = -1$:

$$y(-1) = (-1)^2 — 2 \cdot (-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.$$

• При $t = \frac{1}{4}$:

$$y\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 — 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) + 1 = \frac{1}{16} — \frac{8}{16} + 1 = \frac{9}{16}.$$

• При $t = 1$:

$$y(1) = 1^2 — 2 \cdot 1 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0.$$

Таким образом, минимальное значение функции $y$ равно 0, и оно достигается при $t = 1$. Мы можем заключить, что:

$$y_{\text{min}} = 0.$$

4. Неравенства для $y$

Теперь, когда мы нашли минимальное значение функции, вернемся к исходному уравнению. Мы знаем, что:

$$\cos^2 3x — 2 \cos 3x + 1 \geq 0.$$

Это неравенство эквивалентно:

$$y = \cos^2 3x — 2 \cos 3x + 1 \geq 0.$$

Таким образом, нам нужно решить неравенство:

$$y \geq 0.$$

Как мы выяснили, минимальное значение $y = 0$, и для всех значений $t \in [-1; 1]$ функция $y(t)$ всегда больше или равна 0. Таким образом, это неравенство выполняется для всех значений $t$, что соответствует решению нашего исходного уравнения.

5. Решение уравнений

Теперь, зная, что функция всегда неотрицательна, переходим к решению уравнений для $\cos 2x = 1$ и $\cos 3x = 1$.

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 1$$

Из этого уравнения получаем:

$$2x = 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \pi n.$$

Второе уравнение:

$$\cos 3x = 1$$

Из этого уравнения получаем:

$$3x = 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2\pi n}{3}.$$

6. Ответ

Решением исходного уравнения будет пересечение решений двух уравнений. Получаем:

$$x = 2\pi n.$$