ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg} x — 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$

б) $\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x}$

в) $2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$

г) $\frac{7-\mathrm{ctg}x}{4}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

а)

$$\operatorname{tg} x — 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$$ $$\operatorname{tg} x — \frac{2}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y — \frac{2}{y} + 1 = 0 \quad | \cdot y$$ $$y^2 + y — 2 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда: }$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = -2$$ $$x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = 1$$ $$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ: $-\operatorname{arctg} 2 + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б)

$$\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x}$$ $$\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = 1 + \operatorname{tg}^2 x \quad | \cdot 2$$ $$\operatorname{tg} x + 5 = 2 + 2 \operatorname{tg}^2 x$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$2y^2 — y — 3 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25, \text{тогда: }$$ $$y_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = -1$$ $$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$$ $$x = \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$.

в)

$$2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$$ $$\frac{2}{\operatorname{tg} x} — 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$\frac{2}{y} — 3y + 5 = 0 \quad | \cdot y$$ $$2 — 3y^2 + 5y = 0$$ $$3y^2 — 5y — 2 = 0$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49, \text{тогда: }$$ $$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3}$$ $$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = 2$$ $$x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

Ответ: $-\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n; \operatorname{arctg} 2 + \pi n$.

г)

$$\frac{7 — \operatorname{ctg} x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}$$ $$\frac{7 — \operatorname{ctg} x}{4} = 1 + \operatorname{ctg}^2 x \quad | \cdot 4$$ $$7 — \operatorname{ctg} x = 4 + 4 \operatorname{ctg}^2 x$$

Пусть $y = \operatorname{ctg} x$, тогда:

$$4y^2 + y — 3 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49, \text{тогда: }$$ $$y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Первое значение:

$$\operatorname{ctg} x = -1$$ $$x = (\pi — \operatorname{arcctg} 1) + \pi n = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Второе значение:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{3}{4}$$ $$x = \operatorname{arcctg} \frac{3}{4} + \pi n$$

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + \pi n; \operatorname{arcctg} \frac{3}{4} + \pi n$.

а) $\operatorname{tg} x — 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$

Преобразование исходного уравнения:

Начнём с уравнения:

$$\operatorname{tg} x — 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$$

Используем тождество для котангенса: $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$. Подставим это в уравнение:

$$\operatorname{tg} x — 2 \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0$$

Умножим обе части на $\operatorname{tg} x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$\operatorname{tg}^2 x — 2 + \operatorname{tg} x = 0$$

Теперь у нас квадратичное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$, пусть:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Уравнение примет вид:

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения $y^2 + y — 2 = 0$ применяем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 — 3}{2} = -2$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = -2, \quad y_2 = 1$$

Решение для $y_1 = -2$:

Подставляем $y_1 = -2$ обратно в $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = -2$$

Для этого значения тангенса найдём углы:

$$x = -\arctg 2 + \pi n$$

Так как $\operatorname{tg} x$ имеет период $\pi$, решение будет:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Решение для $y_2 = 1$:

Подставляем $y_2 = 1$ обратно в $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = 1$$

Для этого значения тангенса:

$$x = \arctg 1 + \pi n$$

Мы знаем, что $\arctg 1 = \frac{\pi}{4}$, следовательно:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ для части а):

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n$$

б) $\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x}$

Преобразование исходного уравнения:

Начнём с уравнения:

$$\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Используем тождество $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$, подставим это в уравнение:

$$\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$$

Умножим обе части на 2:

$$\operatorname{tg} x + 5 = 2 + 2 \operatorname{tg}^2 x$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$2 \operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x — 3 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Пусть:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$2y^2 — y — 3 = 0$$

Для решения находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Решение для $y_1 = -1$:

Подставляем $y_1 = -1$ в $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = -1$$

Для этого значения:

$$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Решение для $y_2 = \frac{3}{2}$:

Подставляем $y_2 = \frac{3}{2}$ в $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$$

Для этого значения:

$$x = \arctg \frac{3}{2} + \pi n$$

Ответ для части б):

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n; \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

в) $2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$

Преобразование исходного уравнения:

Начнём с уравнения:

$$2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$$

Используем тождество $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$, подставим это:

$$\frac{2}{\operatorname{tg} x} — 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$$

Умножим обе части на $\operatorname{tg} x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2 — 3 \operatorname{tg}^2 x + 5 \operatorname{tg} x = 0$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$3 \operatorname{tg}^2 x — 5 \operatorname{tg} x — 2 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Пусть:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$3y^2 — 5y — 2 = 0$$

Для решения находим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 — 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Решение для $y_1 = -\frac{1}{3}$:

Подставляем $y_1 = -\frac{1}{3}$ в $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3}$$

Для этого значения:

$$x = -\arctg \frac{1}{3} + \pi n$$

Решение для $y_2 = 2$:

Подставляем $y_2 = 2$ в $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = 2$$

Для этого значения:

$$x = \arctg 2 + \pi n$$

Ответ для части в):

$$-\arctg \frac{1}{3} + \pi n; \arctg 2 + \pi n$$

г) $\frac{7 — \operatorname{ctg} x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}$

Преобразование исходного уравнения:

Начнём с уравнения:

$$\frac{7 — \operatorname{ctg} x}{4} = \frac{1}{\sin^2 x}$$

Используем тождество $\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \operatorname{ctg}^2 x$, подставим это в уравнение:

$$\frac{7 — \operatorname{ctg} x}{4} = 1 + \operatorname{ctg}^2 x$$

Умножим обе части на 4:

$$7 — \operatorname{ctg} x = 4 + 4 \operatorname{ctg}^2 x$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$4 \operatorname{ctg}^2 x + \operatorname{ctg} x — 3 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Пусть:

$$y = \operatorname{ctg} x$$

Тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$4y^2 + y — 3 = 0$$

Для решения находим дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Решение для $y_1 = -1$:

Подставляем $y_1 = -1$ в $\operatorname{ctg} x$:

$$\operatorname{ctg} x = -1$$

Для этого значения:

$$x = (\pi — \operatorname{arcctg} 1) + \pi n = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Решение для $y_2 = \frac{3}{4}$:

Подставляем $y_2 = \frac{3}{4}$ в $\operatorname{ctg} x$:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{3}{4}$$

Для этого значения:

$$x = \operatorname{arcctg} \frac{3}{4} + \pi n$$

Ответ для части г):

$$\frac{3\pi}{4} + \pi n; \operatorname{arcctg} \frac{3}{4} + \pi n$$