ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${\sin }^{2}x-\frac{12-\sqrt{2}}{2}\cdot \sin x-3\sqrt{2}=0$

б) ${\cos }^{2}x-\frac{8-\sqrt{3}}{2}\cdot \cos x-2\sqrt{3}=0$

а)

$$\sin^2 x — \frac{12 — \sqrt{2}}{2} \cdot \sin x — 3\sqrt{2} = 0$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$y^2 — \frac{12 — \sqrt{2}}{2} y — 3\sqrt{2} = 0$$ $$D = \left( \frac{12 — \sqrt{2}}{2} \right)^2 + 4 \cdot 3\sqrt{2} = \frac{144 — 24\sqrt{2} + 2}{4} + 12\sqrt{2}$$ $$D = \frac{144 — 24\sqrt{2} + 2 + 48\sqrt{2}}{4} = \frac{144 + 24\sqrt{2} + 2}{4} = \left( \frac{12 + \sqrt{2}}{2} \right)^2$$ $$y_1 = \frac{\frac{12 — \sqrt{2}}{2} — \frac{12 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y_2 = \frac{\frac{12 — \sqrt{2}}{2} + \frac{12 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{24}{4} = 6$$

Первое значение:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Второе значение:

$$\sin x = 6 \quad \text{(корней нет)}$$

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б)

$$\cos^2 x — \frac{8 — \sqrt{3}}{2} \cdot \cos x — 2\sqrt{3} = 0$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$y^2 — \frac{8 — \sqrt{3}}{2} y — 2\sqrt{3} = 0$$ $$D = \left( \frac{8 — \sqrt{3}}{2} \right)^2 + 4 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{64 — 16\sqrt{3} + 3}{4} + 8\sqrt{3}$$ $$D = \frac{64 — 16\sqrt{3} + 3 + 32\sqrt{3}}{4} = \frac{64 + 16\sqrt{3} + 3}{4} = \left( \frac{8 + \sqrt{3}}{2} \right)^2$$ $$y_1 = \frac{\frac{8 — \sqrt{3}}{2} — \frac{8 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$y_2 = \frac{\frac{8 — \sqrt{3}}{2} + \frac{8 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{16}{4} = 4$$

Первое значение:

$$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Второе значение:

$$\cos x = 4 \quad \text{(корней нет)}$$

Ответ: $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

а) $\sin^2 x — \frac{12 — \sqrt{2}}{2} \cdot \sin x — 3\sqrt{2} = 0$

Преобразуем исходное уравнение:

Исходное уравнение:

$$\sin^2 x — \frac{12 — \sqrt{2}}{2} \cdot \sin x — 3\sqrt{2} = 0$$

Обозначим $y = \sin x$. Таким образом, уравнение превращается в квадратное относительно $y$:

$$y^2 — \frac{12 — \sqrt{2}}{2} y — 3\sqrt{2} = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Это стандартное квадратное уравнение вида $Ay^2 + By + C = 0$. Применим формулу для дискриминанта $D$:

$$D = B^2 — 4AC$$

где $A = 1$, $B = — \frac{12 — \sqrt{2}}{2}$, $C = — 3\sqrt{2}$.

Сначала вычислим дискриминант:

$$D = \left( \frac{12 — \sqrt{2}}{2} \right)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{2}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$D = \frac{(12 — \sqrt{2})^2}{4} + 12\sqrt{2}$$ $$D = \frac{144 — 24\sqrt{2} + 2}{4} + 12\sqrt{2}$$ $$D = \frac{146 — 24\sqrt{2}}{4} + 12\sqrt{2}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$D = \frac{146 — 24\sqrt{2} + 48\sqrt{2}}{4} = \frac{146 + 24\sqrt{2}}{4}$$

Упростим:

$$D = \left( \frac{12 + \sqrt{2}}{2} \right)^2$$

Таким образом, дискриминант $D$ равен квадрату $\left( \frac{12 + \sqrt{2}}{2} \right)$.

Корни квадратного уравнения:

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-B — \sqrt{D}}{2A}, \quad y_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}$$

Подставляем значения для $B$, $D$, и $A$:

$$y_1 = \frac{\frac{12 — \sqrt{2}}{2} — \frac{12 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y_2 = \frac{\frac{12 — \sqrt{2}}{2} + \frac{12 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{24}{4} = 6$$

Решение для $y_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Возвращаемся к $\sin x$. Мы получаем:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Это значение синуса соответствует углам:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n$$

Мы знаем, что $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, следовательно:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Решение для $y_2 = 6$:

Так как $\sin x$ не может быть больше 1, для $\sin x = 6$ решений не существует.

Ответ для части а):

$$(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

б) $\cos^2 x — \frac{8 — \sqrt{3}}{2} \cdot \cos x — 2\sqrt{3} = 0$

Преобразуем исходное уравнение:

Начнём с уравнения:

$$\cos^2 x — \frac{8 — \sqrt{3}}{2} \cdot \cos x — 2\sqrt{3} = 0$$

Пусть $y = \cos x$, тогда у нас получится квадратное уравнение:

$$y^2 — \frac{8 — \sqrt{3}}{2} y — 2\sqrt{3} = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения $y^2 — \frac{8 — \sqrt{3}}{2} y — 2\sqrt{3} = 0$ вычислим дискриминант $D$:

$$D = \left( \frac{8 — \sqrt{3}}{2} \right)^2 + 4 \cdot 2\sqrt{3}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$D = \frac{(8 — \sqrt{3})^2}{4} + 8\sqrt{3}$$ $$D = \frac{64 — 16\sqrt{3} + 3}{4} + 8\sqrt{3}$$ $$D = \frac{64 — 16\sqrt{3} + 3 + 32\sqrt{3}}{4} = \frac{64 + 16\sqrt{3} + 3}{4}$$ $$D = \left( \frac{8 + \sqrt{3}}{2} \right)^2$$

Корни квадратного уравнения:

Используем формулу для корней:

$$y_1 = \frac{\frac{8 — \sqrt{3}}{2} — \frac{8 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$y_2 = \frac{\frac{8 — \sqrt{3}}{2} + \frac{8 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{16}{4} = 4$$

Решение для $y_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Подставляем $y_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ в $\cos x$:

$$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Это значение косинуса соответствует углам:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n$$

Мы знаем, что $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, следовательно:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Решение для $y_2 = 4$:

Так как $\cos x$ не может быть больше 1, для $\cos x = 4$ решений не существует.

Ответ для части б):

$$\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$