ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${\mathrm{tg}}^{3}x+{\mathrm{tg}}^{2}x-3\mathrm{tg}x=3$

б) ${\mathrm{ctg}}^{4}2x-4{\mathrm{ctg}}^{2}2x+3=0$

а)

$$\operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg}^2 x — 3 \operatorname{tg} x = 3$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^3 + y^2 — 3y = 3$$ $$y^3 + y^2 — 3y — 3 = 0$$ $$y^2(y + 1) — 3(y + 1) = 0$$ $$(y^2 — 3)(y + 1) = 0$$ $$y_1 = \pm\sqrt{3} \quad \text{и} \quad y_2 = -1$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = \pm\sqrt{3}$$ $$x = \pm \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = -1$$ $$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n; \, -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

б)

$$\operatorname{ctg}^4 2x — 4 \operatorname{ctg}^2 2x + 3 = 0$$

Пусть $y = \operatorname{ctg}^2 2x$, тогда:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Первое значение:

$$\operatorname{ctg}^2 2x = 1$$ $$\operatorname{ctg} 2x = \pm 1$$ $$\operatorname{tg} 2x = \pm 1$$ $$2x = \pm \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Второе значение:

$$\operatorname{ctg}^2 2x = 3$$ $$\operatorname{ctg} 2x = \pm\sqrt{3}$$ $$\operatorname{tg} 2x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$2x = \pm \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}; \, \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

а) $\operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg}^2 x — 3 \operatorname{tg} x = 3$

Преобразуем исходное уравнение:

Исходное уравнение:

$$\operatorname{tg}^3 x + \operatorname{tg}^2 x — 3 \operatorname{tg} x = 3$$

Для удобства введём замену:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^3 + y^2 — 3y = 3$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$y^3 + y^2 — 3y — 3 = 0$$

Это кубическое уравнение относительно $y$, которое можно решить разложением.

Разложим уравнение:

Мы видим, что уравнение можно разложить по формуле группировки:

$$y^2(y + 1) — 3(y + 1) = 0$$

Вынесем общий множитель $(y + 1)$:

$$(y^2 — 3)(y + 1) = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

$$y^2 — 3 = 0 \quad \text{и} \quad y + 1 = 0$$

Решение для $y^2 — 3 = 0$:

Решим уравнение:

$$y^2 = 3$$ $$y = \pm \sqrt{3}$$

Таким образом, получаем два корня для $y$:

$$y_1 = \sqrt{3}, \quad y_2 = -\sqrt{3}$$

Решение для $y + 1 = 0$:

Решим уравнение:

$$y = -1$$

Таким образом, получаем ещё один корень:

$$y_3 = -1$$

Решение для $\operatorname{tg} x$:

Теперь вернёмся к переменной $x$. Мы имеем три значения для $y$:

• $y_1 = \sqrt{3}$
• $y_2 = -\sqrt{3}$
• $y_3 = -1$

Рассмотрим каждое значение по очереди.

• Для $y_1 = \sqrt{3}$:

  $$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$$

  Мы знаем, что $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$ при $x = \frac{\pi}{3}$. Так как тангенс имеет период $\pi$, то общее решение:

  $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

• Для $y_2 = -\sqrt{3}$:

  $$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$$

  Мы знаем, что $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$ при $x = -\frac{\pi}{3}$. Таким образом:

  $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

• Для $y_3 = -1$:

  $$\operatorname{tg} x = -1$$

  Мы знаем, что $\operatorname{tg} x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{4}$. Таким образом:

  $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ для части а):

$$\pm \frac{\pi}{3} + \pi n; \, -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

б) $\operatorname{ctg}^4 2x — 4 \operatorname{ctg}^2 2x + 3 = 0$

Преобразуем исходное уравнение:

Начнём с уравнения:

$$\operatorname{ctg}^4 2x — 4 \operatorname{ctg}^2 2x + 3 = 0$$

Введём замену:

$$y = \operatorname{ctg}^2 2x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения $y^2 — 4y + 3 = 0$ вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Решение для $y_1 = 1$:

Подставим $y_1 = 1$ в $\operatorname{ctg}^2 2x = 1$:

$$\operatorname{ctg} 2x = \pm 1$$

Следовательно, $\operatorname{tg} 2x = \pm 1$. Для $\operatorname{tg} 2x = 1$ решение будет:

$$2x = \pm \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Решение для $y_2 = 3$:

Подставим $y_2 = 3$ в $\operatorname{ctg}^2 2x = 3$:

$$\operatorname{ctg} 2x = \pm \sqrt{3}$$

Следовательно, $\operatorname{tg} 2x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Для $\operatorname{tg} 2x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ решение будет:

$$2x = \pm \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для части б):

$$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}; \, \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$