ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней заданного уравнения принадлежит указанному промежутку:

а) $4 \sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) — 1 = 0, \ x \in [0; 3]$

б) $\sqrt{3} \tg^2 3x — 3 \tg 3x = 0, \ x \in (-1,5; 1,5)$

в) $4 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{6} \right) — 3 = 0, \ x \in [-5, 5; \pi]$

г) $2{\cos }^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}=0,x\in (-16;10)$

а) $4 \sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) — 1 = 0, \ x \in [0; 3]$

Преобразуем уравнение:

$$4 \sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) — 1 = 0$$ $$\sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{4}$$ $$\sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = \pm \frac{1}{2}$$

Решаем для первого значения:

$$2x + \frac{\pi}{3} = \pm \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$2x = -\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$2x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Решаем для второго значения:

$$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$2x = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$2x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

На указанном промежутке $x \in [0; 3]$:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12}$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$$

Ответ: $4$.

б) $\sqrt{3} \tg^2 3x — 3 \tg 3x = 0, \ x \in (-1,5; 1,5)$

Разложим на множители:

$$\sqrt{3} \tg^2 3x — 3 \tg 3x = 0$$ $$\tg 3x \left( \sqrt{3} \tg 3x — 3 \right) = 0$$

Решаем первое уравнение:

$$\tg 3x = 0$$ $$3x = \arctg 0 + \pi n = \pi n$$ $$x = \frac{\pi n}{3}$$

Решаем второе уравнение:

$$\sqrt{3} \tg 3x — 3 = 0$$ $$\sqrt{3} \tg 3x = 3$$ $$\tg 3x = \sqrt{3}$$ $$3x = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$$

На указанном промежутке $x \in (-1,5; 1,5)$:

$$x_1 = -\frac{\pi}{3}$$ $$x_2 = \frac{\pi \cdot 0}{3} = 0$$ $$x_3 = \frac{\pi}{3}$$ $$x_4 = \frac{\pi}{9} — \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{9}$$ $$x_5 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{9}$$ $$x_6 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{9}$$

Ответ: $6$.

в) $4 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{6} \right) — 3 = 0, \ x \in [-5, 5; \pi]$

Преобразуем уравнение:

$$4 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{6} \right) — 3 = 0$$ $$\cos^2 \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{3}{4}$$ $$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решаем для первого значения:

$$x — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = \pi n$$

Решаем для второго значения:

$$x — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

На указанном промежутке $x \in [-5, 5; \pi]$:

$$x_1 = \pi \cdot (-1) = -\pi$$ $$x_2 = \pi \cdot 0 = 0$$ $$x_3 = \pi \cdot 1 = \pi$$ $$x_4 = \frac{\pi}{3} — 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$$ $$x_5 = \frac{\pi}{3} — \pi = -\frac{2\pi}{3}$$ $$x_6 = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$$

Ответ: $6$.

г) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0, \ x \in (-16; 10)$

Разложим на множители:

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0$$ $$\cos \frac{x}{2} \left( 2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} \right) = 0$$

Решаем первое уравнение:

$$\cos \frac{x}{2} = 0$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \pi + 2\pi n$$

Решаем второе уравнение:

$$2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$$ $$\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{x}{2} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$$

На указанном промежутке $x \in (-16; 10)$:

$$x_1 = \pi — 2\pi \cdot 3 = \pi — 6\pi = -5\pi$$ $$x_2 = \pi — 2\pi \cdot 2 = \pi — 4\pi = -3\pi$$ $$x_3 = \pi — 2\pi \cdot 1 = \pi — 2\pi = -\pi$$ $$x_4 = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi$$ $$x_5 = \pi + 2\pi \cdot 1 = \pi + 2\pi = 3\pi$$ $$x_6 = \frac{5\pi}{3} — 4\pi = -\frac{7\pi}{3}$$ $$x_7 = -\frac{5\pi}{3} + 4\pi \cdot 0 = -\frac{5\pi}{3}$$ $$x_8 = \frac{5\pi}{3} + 4\pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{3}$$ $$x_9 = -\frac{5\pi}{3} + 4\pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{3}$$

Ответ: $9$.

а) $4 \sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) — 1 = 0, \ x \in [0; 3]$

Преобразуем уравнение:

Начальное уравнение:

$$4 \sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) — 1 = 0$$

Для упрощения, сначала перенесём $-1$ в правую часть:

$$4 \sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = 1$$

Разделим обе части на 4:

$$\sin^2 \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{4}$$

Теперь извлечём квадратный корень из обеих сторон:

$$\sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = \pm \frac{1}{2}$$

Решение для $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$:

Уравнение:

$$2x + \frac{\pi}{3} = \arcsin \frac{1}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x + \frac{\pi}{3} = \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2k\pi$$

Поскольку $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, то подставляем:

$$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$

Переносим $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$$2x = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$

Упростим выражение:

$$2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$$

Разделим на 2:

$$x = -\frac{\pi}{12} + k\pi$$

Решение для $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$:

Уравнение:

$$2x + \frac{\pi}{3} = -\arcsin \frac{1}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x + \frac{\pi}{3} = \pi + \arcsin \frac{1}{2} + 2k\pi$$

Поскольку $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, то подставляем:

$$2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$$

Переносим $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$$2x = -\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$

Упростим выражение:

$$2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

Разделим на 2:

$$x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$$

На промежутке $x \in [0; 3]$:

Подставляем значения $k$ для обоих решений.

• Для $x = -\frac{\pi}{12} + k\pi$:

  $$k = 1: \quad x_1 = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$$ $$k = 0: \quad x_2 = -\frac{\pi}{12} + 0 = -\frac{\pi}{12} \quad (\text{не подходит})$$

• Для $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$:

  $$k = 1: \quad x_3 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$$ $$k = 0: \quad x_4 = -\frac{\pi}{4} + 0 = -\frac{\pi}{4} \quad (\text{не подходит})$$

Таким образом, на промежутке $x \in [0; 3]$ есть решения:

$$x_1 = \frac{11\pi}{12}, \quad x_2 = \frac{3\pi}{4}$$

Ответ для части а): 4$$4$$

б) $\sqrt{3} \tg^2 3x — 3 \tg 3x = 0, \ x \in (-1,5; 1,5)$

Разложим на множители:

Начальное уравнение:

$$\sqrt{3} \tg^2 3x — 3 \tg 3x = 0$$

Вынесем общий множитель $\tg 3x$:

$$\tg 3x \left( \sqrt{3} \tg 3x — 3 \right) = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Решаем первое уравнение:

$$\tg 3x = 0$$

Решение:

$$3x = \arctg 0 + \pi n = \pi n$$

Разделим на 3:

$$x = \frac{\pi n}{3}$$

Таким образом, получаем решение для $x$:

$$x_1 = 0 \quad (\text{для} \ n = 0)$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3} \quad (\text{для} \ n = 1)$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{3} \quad (\text{для} \ n = -1)$$

Решаем второе уравнение:

$$\sqrt{3} \tg 3x — 3 = 0$$

Разделим на $\sqrt{3}$:

$$\tg 3x = \sqrt{3}$$

Решение:

$$3x = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Разделим на 3:

$$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$$

Таким образом, получаем решения для $x$:

$$x_4 = \frac{\pi}{9} \quad (\text{для} \ n = 0)$$ $$x_5 = \frac{2\pi}{9} \quad (\text{для} \ n = 1)$$ $$x_6 = \frac{-\pi}{9} \quad (\text{для} \ n = -1)$$

На промежутке $x \in (-1,5; 1,5)$:

Теперь подставляем полученные значения в интервал $(-1,5; 1,5)$. Решения:

• Для $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{\pi}{3}$, $x_3 = -\frac{\pi}{3}$ — все значения лежат в интервале.
• Для $x_4 = \frac{\pi}{9}$, $x_5 = \frac{2\pi}{9}$, $x_6 = \frac{-\pi}{9}$ — все значения также лежат в интервале.

Таким образом, на промежутке $x \in (-1,5; 1,5)$ есть 6 решений:

$$x_1=0,x_2=\frac{\pi }{3},x_3=-\frac{\pi }{3},$$

$$x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{\pi}{3}, \quad x_3 = -\frac{\pi}{3}, \quad x_4 = \frac{\pi}{9}, \quad x_5 = \frac{2\pi}{9}, \quad x_6 = \frac{-\pi}{9}$$

Ответ для части б): 6$$6$$

в) $4 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{6} \right) — 3 = 0, \ x \in [-5, 5; \pi]$

Преобразуем уравнение:

Начальное уравнение:

$$4 \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{6} \right) — 3 = 0$$

Разделим на 4:

$$\cos^2 \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{3}{4}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решаем для первого значения:

$$x — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n$$

Мы знаем, что $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, следовательно:

$$x — \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = 2\pi n$$

Решаем для второго значения:

$$x — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

На промежутке $x \in [-5, 5; \pi]$:

Решения для $x$ на указанном промежутке:

$$x_1=-\pi ,x_2=0,x_3=\pi ,$$

$$x_1 = -\pi, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \pi, \quad x_4 = -\frac{5\pi}{3}, \quad x_5 = -\frac{2\pi}{3}, \quad x_6 = \frac{\pi}{3}$$

Ответ для части в): 6$$6$$

г) $2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0, \ x \in (-16; 10)$

Разложим на множители:

Начальное уравнение:

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 0$$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$:

$$\cos \frac{x}{2} \left( 2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} \right) = 0$$

Решаем первое уравнение:

$$\cos \frac{x}{2} = 0$$

Угол $\cos \theta = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, следовательно:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$

Умножим обе стороны на 2:

$$x = \pi + 2k\pi$$

Таким образом, решение для $x$:

$$x_1 = \pi + 2k\pi$$

На промежутке $(-16; 10)$ получаем значения:

$$x_1 = -3\pi, \quad x_2 = -\pi, \quad x_3 = \pi$$

Решаем второе уравнение:

$$2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$$

Переносим $\sqrt{3}$ в правую часть:

$$\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Угол $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ и $\theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, следовательно:

$$\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$

Умножаем обе части на 2:

$$x = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{3} + 4k\pi$$

Таким образом, для этих решений:

$$x_4 = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi, \quad x_5 = \frac{7\pi}{3} + 4k\pi$$

Для значений на промежутке $(-16; 10)$, мы подставляем различные значения $k$:

$$x_4 = -\frac{7\pi}{3}, \quad x_5 = \frac{5\pi}{3}$$ $$x_6 = \frac{7\pi}{3}$$

Подставляем значения для $k = -1, 0, 1$ в оба уравнения для второй части.

Решения на промежутке $x \in (-16; 10)$:

Все полученные значения:

$$x_1=-3\pi ,x_2=-\pi ,x_3=\pi ,$$

$$x_1 = -3\pi, \quad x_2 = -\pi, \quad x_3 = \pi, \quad x_4 = \frac{5\pi}{3}, \quad x_5 = \frac{7\pi}{3}, \quad x_6 = \frac{7\pi}{3}$$

Ответ для части г): 9