ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $({\sin }^2(x-\frac{\pi }{4})-\frac{1}{2})(\cos 2x+1)=0$

б) $({\cos }^2(2x+\frac{\pi }{6})-\frac{3}{4})\cdot \sin \frac{x}{2}=0$

а) $\left(\sin^2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) — \frac{1}{2}\right)(\cos 2x + 1) = 0$

Первое уравнение:

$$\sin^2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) — \frac{1}{2} = 0;$$ $$\sin^2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2};$$ $$\sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \pi n;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x + 1 = 0;$$ $$\cos 2x = -1;$$ $$2x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi n}{2}}$.

б) $\left(\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) — \frac{3}{4}\right) \cdot \sin \frac{x}{2} = 0$

Первое уравнение:

$$\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) — \frac{3}{4} = 0;$$ $$1 — \sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4};$$ $$\sin^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{4};$$ $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \pm \frac{1}{2};$$ $$2x + \frac{\pi}{6} = \pm \arcsin\frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x_1 = \frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};$$ $$x_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = 0;$$ $$\frac{x}{2} = \pi n;$$ $$x = 2\pi n;$$

Ответ: $\boxed{-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi n}{2}}$.

а) $\left(\sin^2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) — \frac{1}{2}\right)(\cos 2x + 1) = 0$

Задача состоит в решении данного произведения на ноль, то есть при решении необходимо приравнять к нулю каждое из выражений:

1. $\sin^2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) — \frac{1}{2} = 0$
2. $\cos 2x + 1 = 0$

1. Решение первого уравнения

Первое уравнение:

$$\sin^2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) — \frac{1}{2} = 0$$

Переносим $\frac{1}{2}$ в правую часть:

$$\sin^2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$\sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Напоминаем, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и поэтому $\sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right)$ может быть равно $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь для каждого из случаев находим решение для $x$:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n$$

Поскольку $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, то у нас получается:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Для двух случаев:

Когда $x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, то

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Когда $x — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, то

$$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \pi n$$

Таким образом, решения первого уравнения:

$$x_1 = \pi n$$ $$x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

2. Решение второго уравнения

Теперь решим второе уравнение:

$$\cos 2x + 1 = 0$$

Переносим 1 в правую часть:

$$\cos 2x = -1$$

Для решения этого уравнения вспоминаем, что $\cos \theta = -1$ при $\theta = \pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом:

$$2x = \pi + 2\pi n$$

Теперь делим обе стороны на 2:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

3. Общее решение

Теперь, когда мы нашли решения для двух уравнений, их нужно объединить. Мы уже видим, что:

• Первое уравнение имеет решения $x_1 = \pi n$ и $x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
• Второе уравнение имеет решение $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Таким образом, общее решение: $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\boxed{\frac{\pi n}{2}}$.

б) $\left(\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) — \frac{3}{4}\right) \cdot \sin \frac{x}{2} = 0$

Аналогично, решим задачу поэтапно.

Задача состоит в том, чтобы приравнять каждое из выражений к нулю:

1. $\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) — \frac{3}{4} = 0$
2. $\sin \frac{x}{2} = 0$

1. Решение первого уравнения

Первое уравнение:

$$\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) — \frac{3}{4} = 0$$

Переносим $\frac{3}{4}$ в правую часть:

$$\cos^2\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4}$$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$$\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Поскольку $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то решение для $\cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид:

$$2x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$$

Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то у нас получается два случая:

Когда $2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, то

$$2x = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 2\pi n$$ $$x = \pi n$$

Когда $2x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, то

$$2x = -\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

Таким образом, решения первого уравнения:

$$x_1 = \pi n$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

2. Решение второго уравнения

Теперь решим второе уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = 0$$

Решением этого уравнения будет:

$$\frac{x}{2} = \pi n$$

Умножаем обе стороны на 2:

$$x = 2\pi n$$

3. Общее решение

Теперь, когда мы нашли решения для двух уравнений, их нужно объединить. Мы видим, что:

• Первое уравнение имеет решения $x_1 = \pi n$ и $x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
• Второе уравнение имеет решение $x = 2\pi n$.

Таким образом, общее решение:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi n}{2}}$.