ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\cos (a-\beta )+\sin (-a)\cdot \sin \beta =\cos a\cdot \cos \beta$;

б) $\sin ({30}^{\circ }-a)-\cos ({60}^{\circ }-a)=-\sqrt{3}\sin a$;

в) $\sin (a-\beta )-\cos a\cdot \sin (-\beta )=\sin a\cdot \cos \beta$;

г) $\sin ({30}^{\circ }-a)+\sin ({30}^{\circ }+a)=\cos a$

а) $\cos (a-\beta )+\sin (-a)\cdot \sin \beta =\cos a\cdot \cos \beta$;

$$(\cos a\cdot \cos \beta +\sin a\cdot \sin \beta )-\sin a\cdot \sin \beta =\cos a\cdot \cos \beta ;$$$$\cos a\cdot \cos \beta =\cos a\cdot \cos \beta ;$$

Тождество доказано.

б) $\sin ({30}^{\circ }-a)-\cos ({60}^{\circ }-a)=-\sqrt{3}\sin a$;

$$(\sin {30}^{\circ }\cdot \cos a-\cos {30}^{\circ }\cdot \sin a)-(\cos {60}^{\circ }\cdot \cos a+\sin {60}^{\circ }\cdot \sin a)=-\sqrt{3}\sin a;$$$$\frac{1}{2}\cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a-\frac{1}{2}\cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a=-\sqrt{3}\sin a;$$$$-\sqrt{3}\sin a=-\sqrt{3}\sin a;$$

Тождество доказано.

в) $\sin (a-\beta )-\cos a\cdot \sin (-\beta )=\sin a\cdot \cos \beta$;

$$(\sin a\cdot \cos \beta -\cos a\cdot \sin \beta )+\cos a\cdot \sin \beta =\sin a\cdot \cos \beta ;$$$$\sin a\cdot \cos \beta =\sin a\cdot \cos \beta ;$$

Тождество доказано.

г) $\sin ({30}^{\circ }-a)+\sin ({30}^{\circ }+a)=\cos a$;

$$(\sin {30}^{\circ }\cdot \cos a-\cos {30}^{\circ }\cdot \sin a)+(\sin {30}^{\circ }\cdot \cos a+\cos {30}^{\circ }\cdot \sin a)=\cos a;$$$$\frac{1}{2}\cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a+\frac{1}{2}\cos a+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a=\cos a;$$$$\cos a=\cos a;$$

Тождество доказано.

а) $\cos (a-\beta )+\sin (-a)\cdot \sin \beta =\cos a\cdot \cos \beta$

Шаг 1: Разбираем левую часть тождества

Используем формулу для косинуса разности:

$$\cos (a-\beta )=\cos a\cdot \cos \beta +\sin a\cdot \sin \beta$$

Также нужно учитывать, что $\sin (-a)=-\sin (a)$, так как синус — это нечетная функция. Подставим это:

$$\cos (a-\beta )+\sin (-a)\cdot \sin \beta =(\cos a\cdot \cos \beta +\sin a\cdot \sin \beta )-\sin a\cdot \sin \beta$$

Шаг 2: Упрощаем выражение

Теперь можно упростить:

$$(\cos a\cdot \cos \beta +\sin a\cdot \sin \beta )-\sin a\cdot \sin \beta =\cos a\cdot \cos \beta$$$$\cos a\cdot \cos \beta +(\sin a\cdot \sin \beta -\sin a\cdot \sin \beta )=\cos a\cdot \cos \beta$$

Заметите, что $\sin a\cdot \sin \beta -\sin a\cdot \sin \beta =0$, и получаем:

$$\cos a\cdot \cos \beta =\cos a\cdot \cos \beta$$

Это очевидно верно, так как обе части равенства идентичны.

Тождество доказано.

б) $\sin ({30}^{\circ }-a)-\cos ({60}^{\circ }-a)=-\sqrt{3}\sin a$

Шаг 1: Разбираем левую часть тождества

Используем формулы для синуса разности и косинуса разности:

$$\sin ({30}^{\circ }-a)=\sin {30}^{\circ }\cdot \cos a-\cos {30}^{\circ }\cdot \sin a$$$$\cos ({60}^{\circ }-a)=\cos {60}^{\circ }\cdot \cos a+\sin {60}^{\circ }\cdot \sin a$$

Подставляем эти выражения в исходное равенство:

$$\sin ({30}^{\circ }-a)-\cos ({60}^{\circ }-a)=(\sin {30}^{\circ }\cdot \cos a-\cos {30}^{\circ }\cdot \sin a)-$$

$$-(\cos {60}^{\circ }\cdot \cos a+\sin {60}^{\circ }\cdot \sin a)$$

Шаг 2: Подставляем значения тригонометрических функций

Значения для углов ${30}^{\circ }$ и ${60}^{\circ }$ известны:

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2},\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2},\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем эти значения в выражение:

$$(\frac{1}{2}\cdot \cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a)-(\frac{1}{2}\cdot \cos a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a)$$

Шаг 3: Упрощаем выражение

Раскроем скобки:

$$\frac{1}{2}\cdot \cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a-\frac{1}{2}\cdot \cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a$$

Теперь складываем похожие элементы:

$$(\frac{1}{2}\cdot \cos a-\frac{1}{2}\cdot \cos a)+(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a)$$$$0\cdot \cos a-\sqrt{3}\cdot \sin a=-\sqrt{3}\cdot \sin a$$

Это соответствует правой части тождества.

Тождество доказано.

в) $\sin (a-\beta )-\cos a\cdot \sin (-\beta )=\sin a\cdot \cos \beta$

Шаг 1: Разбираем левую часть тождества

Используем формулу для синуса разности:

$$\sin (a-\beta )=\sin a\cdot \cos \beta -\cos a\cdot \sin \beta$$

Также учитываем, что $\sin (-\beta )=-\sin (\beta )$. Подставляем это в выражение:

$$\sin (a-\beta )-\cos a\cdot \sin (-\beta )=(\sin a\cdot \cos \beta -\cos a\cdot \sin \beta )+\cos a\cdot \sin \beta$$

Шаг 2: Упрощаем выражение

Теперь видим, что $-\cos a\cdot \sin \beta +\cos a\cdot \sin \beta =0$, и оставляем только:

$$\sin a\cdot \cos \beta =\sin a\cdot \cos \beta$$

Это очевидно верно.

Тождество доказано.

г) $\sin ({30}^{\circ }-a)+\sin ({30}^{\circ }+a)=\cos a$

Шаг 1: Разбираем левую часть тождества

Используем формулы для синуса разности и синуса суммы:

$$\sin ({30}^{\circ }-a)=\sin {30}^{\circ }\cdot \cos a-\cos {30}^{\circ }\cdot \sin a$$$$\sin ({30}^{\circ }+a)=\sin {30}^{\circ }\cdot \cos a+\cos {30}^{\circ }\cdot \sin a$$

Подставляем эти выражения в исходное равенство:

$$\sin ({30}^{\circ }-a)+\sin ({30}^{\circ }+a)=(\sin {30}^{\circ }\cdot \cos a-\cos {30}^{\circ }\cdot \sin a)+$$

$$+(\sin {30}^{\circ }\cdot \cos a+\cos {30}^{\circ }\cdot \sin a)$$

Шаг 2: Подставляем значения тригонометрических функций

Известные значения:

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2},\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем в выражение:

$$(\frac{1}{2}\cdot \cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a)+(\frac{1}{2}\cdot \cos a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a)$$

Шаг 3: Упрощаем выражение

Раскрываем скобки:

$$\frac{1}{2}\cdot \cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a+\frac{1}{2}\cdot \cos a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a$$

Теперь складываем похожие элементы:

$$(\frac{1}{2}\cdot \cos a+\frac{1}{2}\cdot \cos a)+(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin a)$$$$\cos a=\cos a$$

Это совпадает с правой частью тождества.

Тождество доказано.