ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя формулы сложения, выведите следующие формулы (их называют формулами приведения):

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$;

б) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\sin x$;

в) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \operatorname{ctg} x$;

г) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{tg} x$

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$;

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin\frac{\pi}{2} \cdot \cos x + \cos\frac{\pi}{2} \cdot \sin x = 1 \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x = \cos x;$$

б) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\sin x$;

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = \cos\frac{3\pi}{2} \cdot \cos x + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin x = 0 \cdot \cos x — 1 \cdot \sin x = -\sin x;$$

в) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \operatorname{ctg} x$;

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right)} = \frac{\sin\frac{\pi}{2} \cdot \cos x — \cos\frac{\pi}{2} \cdot \sin x}{\cos\frac{\pi}{2} \cdot \cos x + \sin\frac{\pi}{2} \cdot \sin x};$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \frac{1 \cdot \cos x — 0 \cdot \sin x}{0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{ctg} x;$$

г) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{tg} x$;

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)} = \frac{\cos\frac{3\pi}{2} \cdot \cos x — \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin x}{\sin\frac{3\pi}{2} \cdot \cos x + \cos\frac{3\pi}{2} \cdot \sin x};$$ $$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \frac{0 \cdot \cos x — (-1) \cdot \sin x}{-1 \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = -\operatorname{tg} x;$$

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$

Используем формулу для синуса суммы углов:

Формула для синуса суммы углов выглядит так:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставляем конкретные значения:

В нашем случае $A = \frac{\pi}{2}$, а $B = x$. Подставим эти значения в формулу для синуса суммы:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin\frac{\pi}{2} \cdot \cos x + \cos\frac{\pi}{2} \cdot \sin x$$

Вспоминаем значения тригонометрических функций для $\frac{\pi}{2}$:

$$\sin\frac{\pi}{2} = 1, \quad \cos\frac{\pi}{2} = 0$$

Эти значения являются стандартными для угла $\frac{\pi}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 1 \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x$$

Упрощаем выражение:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$$

Таким образом, мы доказали, что $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$.

б) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\sin x$

Используем формулу для косинуса разности углов:

Формула для косинуса разности углов выглядит так:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставляем конкретные значения:

В нашем случае $A = \frac{3\pi}{2}$, а $B = x$. Подставим эти значения в формулу для косинуса разности:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = \cos\frac{3\pi}{2} \cdot \cos x + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin x$$

Вспоминаем значения тригонометрических функций для $\frac{3\pi}{2}$:

$$\cos\frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin\frac{3\pi}{2} = -1$$

Эти значения являются стандартными для угла $\frac{3\pi}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = 0 \cdot \cos x + (-1) \cdot \sin x$$

Упрощаем выражение:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\sin x$$

Таким образом, мы доказали, что $\cos\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\sin x$.

в) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \operatorname{ctg} x$

Используем формулу для тангенса разности углов:

Тангенс можно выразить через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Тогда:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right)}$$

Используем формулы для синуса и косинуса разности углов:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B, \quad \cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставляем конкретные значения для $\frac{\pi}{2} — x$:

Для синуса:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin\frac{\pi}{2} \cdot \cos x — \cos\frac{\pi}{2} \cdot \sin x = 1 \cdot \cos x — 0 \cdot \sin x = \cos x$$

Для косинуса:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos\frac{\pi}{2} \cdot \cos x + \sin\frac{\pi}{2} \cdot \sin x = 0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x = \sin x$$

Подставляем эти значения в выражение для тангенса:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Применяем определение котангенса:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Получаем итоговое равенство:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \operatorname{ctg} x$$

Таким образом, мы доказали, что $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \operatorname{ctg} x$.

г) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{tg} x$

Используем формулу для котангенса суммы углов:

Котангенс можно выразить через косинус и синус:

$$\operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Тогда:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}$$

Используем формулы для косинуса и синуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B, \quad \sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставляем конкретные значения для $\frac{3\pi}{2} + x$:

Для косинуса:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \cos\frac{3\pi}{2} \cdot \cos x — \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin x = 0 \cdot \cos x — (-1) \cdot \sin x = \sin x$$

Для синуса:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \cos x + \cos\frac{3\pi}{2} \cdot \sin x = (-1) \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x = -\cos x$$

Подставляем эти значения в выражение для котангенса:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \frac{\sin x}{-\cos x} = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x$$

Таким образом, мы доказали, что $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{tg} x$.