ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите

а) $\sin \frac{\pi }{5}\cdot \cos \frac{\pi }{20}+\cos \frac{\pi }{5}\cdot \sin \frac{\pi }{20}$

б) $\cos \frac{2\pi }{7}\cdot \cos \frac{5\pi }{7}-\sin \frac{2\pi }{7}\cdot \sin \frac{5\pi }{7}$

в) $\sin \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{11\pi }{12}+\cos \frac{\pi }{12}\cdot \sin \frac{11\pi }{12}$

г) $\cos \frac{2\pi }{15}\cdot \cos \frac{\pi }{5}-\sin \frac{2\pi }{15}\cdot \sin \frac{\pi }{5}$

а) $\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{20} + \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{20} = \sin \left( \frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{20} \right) = \sin \frac{5\pi}{20} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $\cos \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} — \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \sin \frac{5\pi}{7} = \cos \left( \frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} \right) = \cos \frac{7\pi}{7} = \cos \pi = -1$;
Ответ: $-1$.

в) $\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{11\pi}{12} = \sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} \right) = \sin \frac{12\pi}{12} = \sin \pi = 0$;
Ответ: $0$.

г) $\cos \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} — \sin \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5} = \cos \left( \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} \right) = \cos \frac{5\pi}{15} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

а) $\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{20} + \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{20} = \sin \left( \frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{20} \right) = \sin \frac{5\pi}{20} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Используем формулу для синуса суммы углов

Формула для синуса суммы двух углов $A$ и $B$ выглядит так:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Это стандартная формула для преобразования синуса суммы углов.

Шаг 2: Подставляем в формулу

В нашем случае $A = \frac{\pi}{5}$ и $B = \frac{\pi}{20}$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\sin \left( \frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{20} \right) = \sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{20} + \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{20}$$

Таким образом, наше выражение эквивалентно $\sin \left( \frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{20} \right)$.

Шаг 3: Приводим дроби к общему знаменателю

Для того чтобы сложить углы, необходимо привести дроби с углами к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{5} = \frac{4\pi}{20}, \quad \frac{\pi}{20} = \frac{\pi}{20}$$

Теперь можем сложить углы:

$$\frac{4\pi}{20} + \frac{\pi}{20} = \frac{5\pi}{20}$$

Таким образом, $\sin \left( \frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{20} \right) = \sin \frac{5\pi}{20} = \sin \frac{\pi}{4}$.

Шаг 4: Используем значение $\sin \frac{\pi}{4}$

По таблице значений тригонометрических функций известно, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итог

Таким образом, мы получаем:

$$\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{20} + \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $\cos \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} — \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \sin \frac{5\pi}{7} = \cos \left( \frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} \right) = \cos \frac{7\pi}{7} = \cos \pi = -1$

Шаг 1: Используем формулу для косинуса суммы углов

Формула для косинуса суммы двух углов $A$ и $B$ выглядит так:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Это стандартная формула для преобразования косинуса суммы углов.

Шаг 2: Подставляем в формулу

В нашем случае $A = \frac{2\pi}{7}$ и $B = \frac{5\pi}{7}$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\cos \left( \frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} \right) = \cos \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} — \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \sin \frac{5\pi}{7}$$

Таким образом, наше выражение эквивалентно $\cos \left( \frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} \right)$.

Шаг 3: Приводим дроби к общему знаменателю

Сложим углы:

$$\frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi$$

Таким образом, $\cos \left( \frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7} \right) = \cos \pi$.

Шаг 4: Используем значение $\cos \pi$

По таблице значений тригонометрических функций известно, что:

$$\cos \pi = -1$$

Итог

Таким образом, мы получаем:

$$\cos \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} — \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \sin \frac{5\pi}{7} = -1$$

Ответ: $-1$.

в) $\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{11\pi}{12} = \sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} \right) = \sin \frac{12\pi}{12} = \sin \pi = 0$

Шаг 1: Используем формулу для синуса суммы углов

Формула для синуса суммы двух углов $A$ и $B$ выглядит так:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Это стандартная формула для преобразования синуса суммы углов.

Шаг 2: Подставляем в формулу

В нашем случае $A = \frac{\pi}{12}$ и $B = \frac{11\pi}{12}$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} \right) = \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{11\pi}{12}$$

Таким образом, наше выражение эквивалентно $\sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} \right)$.

Шаг 3: Приводим дроби к общему знаменателю

Сложим углы:

$$\frac{\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} = \pi$$

Таким образом, $\sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} \right) = \sin \pi$.

Шаг 4: Используем значение $\sin \pi$

По таблице значений тригонометрических функций известно, что:

$$\sin \pi = 0$$

Итог

Таким образом, мы получаем:

$$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{11\pi}{12} = 0$$

Ответ: $0$.

г) $\cos \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} — \sin \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5} = \cos \left( \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} \right) = \cos \frac{5\pi}{15} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Шаг 1: Используем формулу для косинуса суммы углов

Формула для косинуса суммы двух углов $A$ и $B$ выглядит так:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Это стандартная формула для преобразования косинуса суммы углов.

Шаг 2: Подставляем в формулу

В нашем случае $A = \frac{2\pi}{15}$ и $B = \frac{\pi}{5}$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\cos \left( \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} \right) = \cos \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} — \sin \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5}$$

Таким образом, наше выражение эквивалентно $\cos \left( \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} \right)$.

Шаг 3: Приводим дроби к общему знаменателю

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{15}$$

Теперь сложим углы:

$$\frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$$

Таким образом, $\cos \left( \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} \right) = \cos \frac{\pi}{3}$.

Шаг 4: Используем значение $\cos \frac{\pi}{3}$

По таблице значений тригонометрических функций известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Итог

Таким образом, мы получаем:

$$\cos \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} — \sin \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.