ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\cos \frac{5\pi }{8}\cdot \cos \frac{3\pi }{8}+\sin \frac{5\pi }{8}\cdot \sin \frac{3\pi }{8}$

б) $\sin \frac{2\pi }{15}\cdot \cos \frac{\pi }{5}+\cos \frac{2\pi }{15}\cdot \sin \frac{\pi }{5}$

в) $\cos \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{12}\cdot \sin \frac{\pi }{4}$

г) $\sin \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{12}\cdot \sin \frac{\pi }{4}$

а) $\cos \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \sin \frac{3\pi}{8} = \cos \left( \frac{5\pi}{8} — \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \frac{2\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $\sin \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5} = \sin \left( \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} \right) = \sin \frac{5\pi}{15} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \cos \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{4\pi}{12} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) $\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \sin \left( \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( -\frac{2\pi}{12} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$;

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

а) $\cos \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \sin \frac{3\pi}{8}$

Рассмотрим выражение:

$$\cos \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \sin \frac{3\pi}{8}$$

Это выражение является формулой для косинуса суммы углов. Формула для косинуса суммы:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

То есть, если у нас есть выражение $\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$, то оно равняется $\cos(A — B)$.

Применим эту формулу:

$$\cos \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{3\pi}{8} + \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \sin \frac{3\pi}{8} = \cos \left( \frac{5\pi}{8} — \frac{3\pi}{8} \right)$$

Вычитаем углы:

$$\frac{5\pi}{8} — \frac{3\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\cos \frac{\pi}{4}$$

Знаем, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $\sin \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5}$

Рассмотрим выражение:

$$\sin \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5}$$

Это выражение является формулой для синуса суммы углов. Формула для синуса суммы:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

То есть, если у нас есть выражение $\sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$, то оно равняется $\sin(A + B)$.

Применим эту формулу:

$$\sin \frac{2\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} + \cos \frac{2\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5} = \sin \left( \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} \right)$$

Чтобы сложить углы, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что $\frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{15}$, поэтому:

$$\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\sin \frac{\pi}{3}$$

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4}$

Рассмотрим выражение:

$$\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4}$$

Это выражение является формулой для косинуса суммы углов, но с минусом. Формула для косинуса разности углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

То есть, если у нас есть выражение $\cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$, то оно равняется $\cos(A + B)$.

Применим эту формулу:

$$\cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \cos \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} \right)$$

Чтобы сложить углы, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что $\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$, поэтому:

$$\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\cos \frac{\pi}{3}$$

Знаем, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4}$

Рассмотрим выражение:

$$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4}$$

Это выражение является формулой для синуса разности углов. Формула для синуса разности:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

То есть, если у нас есть выражение $\sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$, то оно равняется $\sin(A — B)$.

Применим эту формулу:

$$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \sin \left( \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Чтобы вычесть углы, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что $\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$, поэтому:

$$\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} — \frac{3\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right)$$

Знаем, что $\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$, следовательно:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

Итоговые ответы:

а) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $\frac{1}{2}$

г) $-\frac{1}{2}$