ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите равенство:

а) $\sin {75}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\frac{1}{4}$;

б) ${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {105}^{\circ }=-\frac{1}{4}$;

г) ${\cos }^2{75}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ }=1$

Доказательства равенств:

а) $\sin {75}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\frac{1}{4}$;

$$\sin {75}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\sin ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })\cdot \cos ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })=$$

$$=(\sin {45}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ })(\cos {45}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }-\sin {45}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ })=$$

$$=(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=$$

$$=\frac{6-2}{16}=\frac{1}{4};$$

б) ${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }={\cos }^2({45}^{\circ }+{30}^{\circ })-{\sin }^2({45}^{\circ }+{30}^{\circ })=$$

$$=(\cos {45}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }-\sin {45}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }{)}^2-(\sin {45}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }{)}^2=$$

$$={(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})}^2-{(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})}^2=$$

$$={\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)}^2=$$

$$=\frac{6-2\sqrt{12}+2}{16}-\frac{6+2\sqrt{12}+2}{16}=\frac{-4\sqrt{12}}{16}=-\frac{\sqrt{12}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2};$$

в) $\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {105}^{\circ }=-\frac{1}{4}$;

$$\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {105}^{\circ }=\sin ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })\cdot \cos ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=$$

$$=(\sin {60}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ })(\cos {60}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ })=$$

$$=(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})=$$

$$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=\frac{2-6}{16}=-\frac{1}{4};$$

г) ${\cos }^2{75}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ }=1$;

$${\cos }^2{75}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ }={\cos }^2({45}^{\circ }+{30}^{\circ })+{\sin }^2({45}^{\circ }+{30}^{\circ })=$$

$$=(\cos {45}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }-\sin {45}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }{)}^2+(\sin {45}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }{)}^2=$$

$$={(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})}^2+{(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})}^2=$$

$$={\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)}^2=$$

$$=\frac{6-2\sqrt{12}+2}{16}+\frac{6+2\sqrt{12}+2}{16}=\frac{12+4}{16}=\frac{16}{16}=1$$

а) $\sin {75}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\frac{1}{4}$

Используем формулы для синуса и косинуса суммы углов. По формуле для синуса суммы:

$$\sin (A+B)=\sin A\cdot \cos B+\cos A\cdot \sin B,$$

и для косинуса суммы:

$$\cos (A+B)=\cos A\cdot \cos B-\sin A\cdot \sin B\mathrm{.}$$

Подставляем $A={45}^{\circ }$ и $B={30}^{\circ }$ для угла ${75}^{\circ }$:

$$\sin {75}^{\circ }=\sin ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })=\sin {45}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ },$$$$\cos {75}^{\circ }=\cos ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })=\cos {45}^{\circ }\cdot \cos {30}^{\circ }-\sin {45}^{\circ }\cdot \sin {30}^{\circ }\mathrm{.}$$

Подставляем значения тригонометрических функций для углов ${45}^{\circ }$ и ${30}^{\circ }$:

$$\sin {45}^{\circ }=\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\sin {75}^{\circ }=(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},$$$$\cos {75}^{\circ }=(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2})=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\mathrm{.}$$

Теперь умножим эти выражения:

$$\sin {75}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)\mathrm{.}$$

Применяем формулу сокращенного умножения для разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\sin {75}^{\circ }\cdot \cos {75}^{\circ }=\frac{(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}{16}=\frac{6-2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

б) ${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем формулу для разности квадратов:

$${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\cos (2\theta ),$$

где $\theta ={75}^{\circ }$.

Тогда:

$${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=\cos (2\times {75}^{\circ })=\cos {150}^{\circ }\mathrm{.}$$

Используем значения для $\cos {150}^{\circ }$. Известно, что:

$$\cos {150}^{\circ }=-\cos {30}^{\circ }\mathrm{.}$$

Значение $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$$\cos {150}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

в) $\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {105}^{\circ }=-\frac{1}{4}$

Используем аналогичные шаги, как и в пункте (а), но для угла ${105}^{\circ }$.

Раскладываем $\sin {105}^{\circ }$ и $\cos {105}^{\circ }$ через формулы для синуса и косинуса суммы:

$$\sin {105}^{\circ }=\sin ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\sin {60}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ },$$$$\cos {105}^{\circ }=\cos ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\cos {60}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ }\mathrm{.}$$

Подставляем значения тригонометрических функций для углов ${60}^{\circ }$, ${45}^{\circ }$:

$$\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2},\sin {45}^{\circ }=\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\sin {105}^{\circ }=(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},$$$$\cos {105}^{\circ }=(\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\mathrm{.}$$

Умножаем эти выражения:

$$\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {105}^{\circ }=\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)\mathrm{.}$$

Применяем формулу для разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {105}^{\circ }=\frac{(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}{16}=\frac{6-2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

Но так как $\sin {105}^{\circ }$ и $\cos {105}^{\circ }$ имеют противоположные знаки (угол ${105}^{\circ }$ находится в 2-й четверти, где синус положительный, а косинус отрицательный), результат будет:

$$\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {105}^{\circ }=-\frac{1}{4}\mathrm{.}$$

г) ${\cos }^2{75}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ }=1$

Это классическая тригонометрическая тождественность: для любого угла $\theta$:

$${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1.$$

Таким образом:

$${\cos }^2{75}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ }=1.$$

Мы рассмотрели все шаги, подробно разобрав каждое доказательство.