ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) $((1+\cos {44}^{\circ }\cdot \cos 1^{\circ }-\sin {44}^{\circ }\cdot \sin 1^{\circ }{)}^2-1,5{)}^2$

б) $((1+\sin {57}^{\circ }\cdot \cos 3^{\circ }+\cos {57}^{\circ }\cdot \sin 3^{\circ }{)}^2-1,75{)}^2$

в) $((2 + \sin 41^\circ \cdot \cos 4^\circ + \cos 41^\circ \cdot \sin 4^\circ)^2 — 4,5)^2 =$

г) $((2+\cos {25}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\sin {25}^{\circ }\cdot \sin 5^{\circ }{)}^2-4,75{)}^2$

а) $((1 + \cos 44^\circ \cdot \cos 1^\circ — \sin 44^\circ \cdot \sin 1^\circ)^2 — 1,5)^2 =$
$= ((1 + \cos(44^\circ + 1^\circ))^2 — 1,5)^2 = ((1 + \cos 45^\circ)^2 — 1,5)^2 =$
$= \left( \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 — \frac{3}{2} \right)^2 = \left( 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} — \frac{3}{2} \right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2;$
Ответ: 2.

б) $((1 + \sin 57^\circ \cdot \cos 3^\circ + \cos 57^\circ \cdot \sin 3^\circ)^2 — 1,75)^2 =$
$= ((1 + \sin(57^\circ + 3^\circ))^2 — 1,75)^2 = ((1 + \sin 60^\circ)^2 — 1,75)^2 =$
$= \left( \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 — \frac{7}{4} \right)^2 = \left( 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} — \frac{7}{4} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3;$
Ответ: 3.

в) $((2 + \sin 41^\circ \cdot \cos 4^\circ + \cos 41^\circ \cdot \sin 4^\circ)^2 — 4,5)^2 =$
$= ((2 + \sin(41^\circ + 4^\circ))^2 — 4,5)^2 = ((2 + \sin 45^\circ)^2 — 4,5)^2 =$
$= \left( \left( 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 — \frac{9}{2} \right)^2 = \left( 4 + 2\sqrt{2} + \frac{1}{2} — \frac{9}{2} \right)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8;$
Ответ: 8.

г) $((2 + \cos 25^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 25^\circ \cdot \sin 5^\circ)^2 — 4,75)^2 =$
$= ((2 + \cos(25^\circ + 5^\circ))^2 — 4,75)^2 = ((2 + \cos 30^\circ)^2 — 4,75)^2 =$
$= \left( \left( 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 — \frac{19}{4} \right)^2 = \left( 4 + 2\sqrt{3} + \frac{3}{4} — \frac{19}{4} \right)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12;$
Ответ: 12.

а) $((1 + \cos 44^\circ \cdot \cos 1^\circ — \sin 44^\circ \cdot \sin 1^\circ)^2 — 1,5)^2 =$

Шаг 1: Используем тригонометрическую формулу для суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Подставляем в исходное выражение:

$$1 + \cos 44^\circ \cdot \cos 1^\circ — \sin 44^\circ \cdot \sin 1^\circ = 1 + \cos(44^\circ + 1^\circ)$$

Таким образом, выражение преобразуется в:

$$1 + \cos(45^\circ)$$

Шаг 2: Вычисляем $\cos 45^\circ$. Известно, что:

$$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, выражение становится:

$$1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Теперь подставляем это значение в исходную формулу:

$$\left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 — 1,5$$

Раскроем квадрат:

$$\left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2}$$

Теперь подставим это значение:

$$\left( 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) — 1,5 = 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} — \frac{3}{2} = 1 + \sqrt{2} — 1 = \sqrt{2}$$

Шаг 4: Теперь возводим это выражение в квадрат:

$$(\sqrt{2})^2 = 2$$

Ответ: 2.

б) $((1 + \sin 57^\circ \cdot \cos 3^\circ + \cos 57^\circ \cdot \sin 3^\circ)^2 — 1,75)^2 =$

Шаг 1: Используем тригонометрическую формулу для суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставляем в исходное выражение:

$$1 + \sin(57^\circ + 3^\circ) = 1 + \sin(60^\circ)$$

Шаг 2: Вычисляем $\sin 60^\circ$. Известно, что:

$$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно, выражение становится:

$$1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Теперь подставляем это значение в исходную формулу:

$$\left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 — 1,75$$

Раскроем квадрат:

$$\left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4}$$

Теперь подставим это значение:

$$\left( 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} \right) — 1,75 = 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} — \frac{7}{4} = 1 + \sqrt{3} — \frac{4}{4} = \sqrt{3}$$

Шаг 4: Теперь возводим это выражение в квадрат:

$$(\sqrt{3})^2 = 3$$

Ответ: 3.

в) $((2 + \sin 41^\circ \cdot \cos 4^\circ + \cos 41^\circ \cdot \sin 4^\circ)^2 — 4,5)^2 =$

Шаг 1: Используем тригонометрическую формулу для суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставляем в исходное выражение:

$$2 + \sin(41^\circ + 4^\circ) = 2 + \sin(45^\circ)$$

Шаг 2: Вычисляем $\sin 45^\circ$. Известно, что:

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, выражение становится:

$$2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Теперь подставляем это значение в исходную формулу:

$$\left( 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 — 4,5$$

Раскроем квадрат:

$$\left( 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 4 + 2\sqrt{2} + \frac{1}{2}$$

Теперь подставим это значение:

$$\left( 4 + 2\sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) — 4,5 = 4 + 2\sqrt{2} + \frac{1}{2} — \frac{9}{2} = 4 + 2\sqrt{2} — \frac{8}{2} = 2\sqrt{2}$$

Шаг 4: Теперь возводим это выражение в квадрат:

$$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$$

Ответ: 8.

г) $((2 + \cos 25^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 25^\circ \cdot \sin 5^\circ)^2 — 4,75)^2 =$

Шаг 1: Используем тригонометрическую формулу для суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Подставляем в исходное выражение:

$$2 + \cos(25^\circ + 5^\circ) = 2 + \cos(30^\circ)$$

Шаг 2: Вычисляем $\cos 30^\circ$. Известно, что:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно, выражение становится:

$$2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Теперь подставляем это значение в исходную формулу:

$$\left( 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 — 4,75$$

Раскроем квадрат:

$$\left( 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 4 + 2\sqrt{3} + \frac{3}{4}$$

Теперь подставим это значение:

$$\left( 4 + 2\sqrt{3} + \frac{3}{4} \right) — 4,75 = 4 + 2\sqrt{3} + \frac{3}{4} — \frac{19}{4} = 4 + 2\sqrt{3} — \frac{16}{4} = 2\sqrt{3}$$

Шаг 4: Теперь возводим это выражение в квадрат:

$$(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$$

Ответ: 12.