ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x=1;$$

б)$$\cos 3x\cdot \cos 5x=\sin 3x\cdot \sin 5x;$$

в)$$\sin 6x\cdot \cos x+\cos 6x\cdot \sin x=\frac{1}{2};$$

г)$$\cos 5x\cdot \cos 7x-\sin 5x\cdot \sin 7x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

а)

$$\sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x = 1;$$ $$\sin(2x + x) = 1;$$ $$\sin 3x = 1;$$ $$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}$$

б)

$$\cos 3x \cdot \cos 5x = \sin 3x \cdot \sin 5x;$$ $$\cos 3x \cdot \cos 5x — \sin 3x \cdot \sin 5x = 0;$$ $$\cos(3x + 5x) = 0;$$ $$\cos 8x = 0;$$ $$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}}$$

в)

$$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = \frac{1}{2};$$ $$\sin(6x + x) = \frac{1}{2};$$ $$\sin 7x = \frac{1}{2};$$ $$7x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{7} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7};$$

Ответ:

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7}}$$

г)

$$\cos 5x \cdot \cos 7x — \sin 5x \cdot \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos(5x + 7x) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos 12x = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$12x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$12x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{12} \left( \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6};$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}}$$

а)

$$\sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x = 1$$

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу для синуса суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Для выражения $\sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x$, это выглядит следующим образом:

$$\sin(2x + x) = 1$$

Шаг 2: Получаем:

$$\sin 3x = 1$$

Шаг 3: Из уравнения $\sin 3x = 1$, значение синуса 1 достигается при $3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, так как синус имеет период $2\pi$.

$$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 4: Разделим обе части уравнения на 3:

$$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}$$

б)

$$\cos 3x \cdot \cos 5x = \sin 3x \cdot \sin 5x$$

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Перепишем исходное уравнение:

$$\cos 3x \cdot \cos 5x — \sin 3x \cdot \sin 5x = 0$$

Теперь применим формулу:

$$\cos(3x + 5x) = 0$$

Шаг 2: Получаем:

$$\cos 8x = 0$$

Шаг 3: Косинус равен нулю, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число, так как косинус имеет период $2\pi$.

$$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 4: Разделим обе части уравнения на 8:

$$x = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}}$$

в)

$$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу для синуса суммы углов:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Перепишем исходное уравнение:

$$\sin(6x + x) = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Получаем:

$$\sin 7x = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Синус равен $\frac{1}{2}$ при $7x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n$, где $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как синус $\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

$$7x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 4: Разделим обе части уравнения на 7:

$$x = \frac{1}{7} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$$

Теперь разделим на 7:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7}$$

Ответ:

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7}}$$

г)

$$\cos 5x \cdot \cos 7x — \sin 5x \cdot \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Перепишем исходное уравнение:

$$\cos(5x + 7x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Получаем:

$$\cos 12x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $12x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n$, где $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$$12x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 4: Разделим обе части уравнения на 12:

$$x = \frac{1}{12} \left( \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}}$$