ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьший (в градусах) положительный корень уравнения:

а)$$\sin x\cdot \cos {45}^{\circ }+\cos x\cdot \sin {45}^{\circ }=\cos {17}^{\circ }\cdot \cos {13}^{\circ }-\sin {17}^{\circ }\cdot \sin {13}^{\circ }$$

б)$$\cos x\cdot \cos {45}^{\circ }+\sin x\cdot \sin {45}^{\circ }=\sin {200}^{\circ }\cdot \cos {80}^{\circ }-\cos {200}^{\circ }\cdot \sin {80}^{\circ }$$

Найти наименьший положительный корень уравнения:

а)

$$\sin x \cdot \cos 45^\circ + \cos x \cdot \sin 45^\circ = \cos 17^\circ \cdot \cos 13^\circ — \sin 17^\circ \cdot \sin 13^\circ;$$ $$\sin(x + 45^\circ) = \cos(17^\circ + 13^\circ);$$ $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos 30^\circ;$$ $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = \frac{\pi}{12} + 2\pi k;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k + 1) = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k;$$

Наименьший положительный корень:

$$x = \frac{\pi}{12} = \left(\frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{12}\right)^\circ = 15^\circ;$$

Ответ: $15^\circ$.

б)

$$\cos x \cdot \cos 45^\circ + \sin x \cdot \sin 45^\circ = \sin 200^\circ \cdot \cos 80^\circ — \cos 200^\circ \cdot \sin 80^\circ;$$ $$\cos(x — 45^\circ) = \sin(200^\circ — 80^\circ);$$ $$\cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \sin 120^\circ;$$ $$\cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k;$$

Наименьший положительный корень:

$$x = \frac{\pi}{12} = \left(\frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{12}\right)^\circ = 15^\circ;$$

Ответ: $15^\circ$.

а)

Исходное уравнение:

$$\sin x \cdot \cos 45^\circ + \cos x \cdot \sin 45^\circ = \cos 17^\circ \cdot \cos 13^\circ — \sin 17^\circ \cdot \sin 13^\circ$$

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу для синуса суммы углов, которая выглядит так:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

В левой части уравнения у нас выражение $\sin x \cdot \cos 45^\circ + \cos x \cdot \sin 45^\circ$, которое по формуле синуса суммы углов даёт:

$$\sin(x + 45^\circ)$$

Теперь правая часть уравнения. Применим тригонометрическую формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Таким образом, правая часть преобразуется в:

$$\cos(17^\circ + 13^\circ) = \cos 30^\circ$$

Получаем:

$$\sin(x + 45^\circ) = \cos 30^\circ$$

Шаг 2: Заменим $\cos 30^\circ$ на его значение:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь у нас уравнение:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Для решения уравнения $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, воспользуемся тем, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и запишем следующее:

$$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n$$

Так как $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, то уравнение становится:

$$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4: Разделим решение на два случая:

Когда $n = 2k$, тогда:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$$

Когда $n = 2k + 1$, тогда:

$$x_2 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k + 1) = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$$

Шаг 5: Нам нужно найти наименьший положительный корень. Для этого подставляем $k = 0$ в $x_1$ и $x_2$:

Для $x_1 = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$ при $k = 0$, получаем:

$$x_1 = \frac{\pi}{12}$$

Для $x_2 = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$ при $k = 0$, получаем:

$$x_2 = \frac{5\pi}{12}$$

Шаг 6: Наименьший положительный корень — это $x_1 = \frac{\pi}{12}$.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{12} = \left(\frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{12}\right)^\circ = 15^\circ$$

б)

Исходное уравнение:

$$\cos x \cdot \cos 45^\circ + \sin x \cdot \sin 45^\circ = \sin 200^\circ \cdot \cos 80^\circ — \cos 200^\circ \cdot \sin 80^\circ$$

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу для косинуса суммы углов, которая выглядит так:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

В левой части уравнения выражение $\cos x \cdot \cos 45^\circ + \sin x \cdot \sin 45^\circ$ даёт:

$$\cos(x — 45^\circ)$$

Теперь правая часть уравнения. Применим тригонометрическую формулу для синуса разности углов:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Таким образом, правая часть преобразуется в:

$$\sin(200^\circ — 80^\circ) = \sin 120^\circ$$

Получаем:

$$\cos(x — 45^\circ) = \sin 120^\circ$$

Шаг 2: Заменим $\sin 120^\circ$ на его значение:

$$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь у нас уравнение:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Для решения уравнения $\cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, воспользуемся тем, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и запишем следующее:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, то уравнение становится:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 4: Разделим решение на два случая:

Когда $n = 2k$, тогда:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$$

Когда $n = 2k + 1$, тогда:

$$x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$$

Шаг 5: Нам нужно найти наименьший положительный корень. Для этого подставляем $k = 0$ в $x_1$ и $x_2$:

Для $x_1 = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$ при $k = 0$, получаем:

$$x_1 = \frac{\pi}{12}$$

Для $x_2 = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$ при $k = 0$, получаем:

$$x_2 = \frac{5\pi}{12}$$

Шаг 6: Наименьший положительный корень — это $x_1 = \frac{\pi}{12}$.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{12} = \left(\frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{\pi}{12}\right)^\circ = 15^\circ$$