ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $\sin 0, 2 x \cos 0, 8 x + \cos 0, 2 x \sin 0, 8 x = \cos 3 x \cos 2 x + \sin 3 x \sin 2 x$ , $x \in [0; 3 π]$ ;

б) $\cos 0, 7 x \cos 1, 3 x - \sin 0, 7 x \sin 1, 3 x = \sin 7 x \cos 9 x - \sin 9 x \cos 7 x$ , $x \in [- π; π]$ .

Краткий ответ:

Найти все корни уравнения на заданном промежутке:

а)

$\sin 0, 2 x \cdot \cos 0, 8 x + \cos 0, 2 x \cdot \sin 0, 8 x = \cos 3 x \cdot \cos 2 x + \sin 3 x \cdot \sin 2 x;$ $\sin (0, 2 x + 0, 8 x) = \cos (3 x - 2 x);$ $\sin x = \cos x ∣ : \cos x;$ $tg x = 1;$ $x = arctg 1 + π n = \frac{π}{4} + π n;$

Значения на отрезке $[0; 3 π]$ :

$x_{1} = \frac{π}{4} + π \cdot 0 = \frac{π}{4};$ $x_{2} = \frac{π}{4} + π = \frac{5 π}{4};$ $x_{3} = \frac{π}{4} + 2 π = \frac{9 π}{4};$

Ответ: $\frac{π}{4}; \frac{5 π}{4}; \frac{9 π}{4}$ .

б)

$\cos 0, 7 x \cdot \cos 1, 3 x - \sin 0, 7 x \cdot \sin 1, 3 x = \sin 7 x \cdot \cos 9 x - \sin 9 x \cdot \cos 7 x;$ $\cos (0, 7 x + 1, 3 x) = \sin (7 x - 9 x);$ $\cos 2 x = \sin (- 2 x);$ $\cos 2 x = - \sin 2 x ∣ : \cos 2 x;$ $1 = - tg 2 x;$ $tg 2 x = - 1;$ $2 x = - arctg 1 + π n = - \frac{π}{4} + π n;$ $x = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{4} + π n) = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2};$

Значения на отрезке $[- π; π]$ :

$x_{1} = - \frac{π}{8} - \frac{π}{2} = - \frac{5 π}{8};$ $x_{2} = - \frac{π}{8} + π \cdot 0 = - \frac{π}{8};$ $x_{3} = - \frac{π}{8} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{8};$ $x_{4} = - \frac{π}{8} + \frac{2 π}{2} = \frac{7 π}{8};$

Ответ: $- \frac{5 π}{8}; - \frac{π}{8}; \frac{3 π}{8}; \frac{7 π}{8}$ .

Подробный ответ:

а)

Уравнение:

$\sin 0, 2 x \cdot \cos 0, 8 x + \cos 0, 2 x \cdot \sin 0, 8 x = \cos 3 x \cdot \cos 2 x + \sin 3 x \cdot \sin 2 x;$

Шаг 1: Применим тригонометрические формулы для суммы углов.

Левую часть уравнения можно преобразовать с помощью формулы для синуса суммы углов:

$\sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \sin (A + B)$

Таким образом, левая часть уравнения:

$\sin (0, 2 x + 0, 8 x) = \sin x$

Правую часть уравнения можно преобразовать с помощью формулы для косинуса суммы углов:

$\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B = \cos (A - B)$

Таким образом, правая часть уравнения:

$\cos (3 x - 2 x) = \cos x$

Получаем уравнение:

$\sin x = \cos x$

Шаг 2: Теперь преобразуем это уравнение.

Для уравнения $\sin x = \cos x$ разделим обе части на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$ ):

$\tan x = 1$

Шаг 3: Решим уравнение $\tan x = 1$ .

Решение для $\tan x = 1$ будет:

$x = \arctan 1 + π n = \frac{π}{4} + π n$

Шаг 4: Теперь находим все корни на отрезке $[0; 3 π]$ .

Подставляем $n = 0, 1, 2$ :

Для $n = 0$ :

$x_{1} = \frac{π}{4} + π \cdot 0 = \frac{π}{4}$

Для $n = 1$ :

$x_{2} = \frac{π}{4} + π = \frac{5 π}{4}$

Для $n = 2$ :

$x_{3} = \frac{π}{4} + 2 π = \frac{9 π}{4}$

Ответ:

$\frac{π}{4}; \frac{5 π}{4}; \frac{9 π}{4}$ .

б)

Уравнение:

$\cos 0, 7 x \cdot \cos 1, 3 x - \sin 0, 7 x \cdot \sin 1, 3 x = \sin 7 x \cdot \cos 9 x - \sin 9 x \cdot \cos 7 x;$

Шаг 1: Применим тригонометрические формулы для суммы углов.

Левую часть уравнения преобразуем с помощью формулы для косинуса суммы углов:

$\cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B = \cos (A + B)$

Таким образом, левая часть уравнения:

$\cos (0, 7 x + 1, 3 x) = \cos 2 x$

Правую часть уравнения преобразуем с помощью формулы для синуса разности углов:

$\sin A \cdot \cos B - \cos A \cdot \sin B = \sin (A - B)$

Таким образом, правая часть уравнения:

$\sin (7 x - 9 x) = \sin (- 2 x)$

Теперь у нас уравнение:

$\cos 2 x = \sin (- 2 x)$

Шаг 2: Используем тождество для синуса:

$\sin (- A) = - \sin A$

Таким образом:

$\cos 2 x = - \sin 2 x$

Шаг 3: Разделим обе части на $\cos 2 x$ (при условии, что $\cos 2 x \neq 0$ ):

$1 = - \tan 2 x$

Шаг 4: Решим уравнение $\tan 2 x = - 1$ .

Решение для $\tan 2 x = - 1$ будет:

$2 x = - \arctan 1 + π n = - \frac{π}{4} + π n$

Шаг 5: Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{1}{2} (- \frac{π}{4} + π n) = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$

Шаг 6: Теперь находим все корни на отрезке $[- π; π]$ .

Подставляем $n = - 1, 0, 1, 2$ :

Для $n = - 1$ :

$x_{1} = - \frac{π}{8} + \frac{π (- 1)}{2} = - \frac{5 π}{8}$

Для $n = 0$ :

$x_{2} = - \frac{π}{8} + \frac{π \cdot 0}{2} = - \frac{π}{8}$

Для $n = 1$ :

$x_{3} = - \frac{π}{8} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{8}$

Для $n = 2$ :

$x_{4} = - \frac{π}{8} + π = \frac{7 π}{8}$

Ответ:

$- \frac{5 π}{8}; - \frac{π}{8}; \frac{3 π}{8}; \frac{7 π}{8}$

Оцени решение