ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $\sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) — \cos x = 0,5$;

б) $\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

a) $\sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) — \cos x = 0,5$;

$$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x \right) — \cos x = \frac{1}{2};$$ $$\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x \right) — \cos x = \frac{1}{2};$$ $$\cos x + \sin x — \cos x = \frac{1}{2};$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

б) $\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$\sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{x}{2} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\frac{x}{2} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = 2 \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n$.

a)

Уравнение:

$$\sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) — \cos x = 0,5$$

Шаг 1: Применим формулу для косинуса разности углов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x \right) — \cos x = 0,5$$

Шаг 2: Подставим значения $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в уравнение:

$$\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x \right) — \cos x = 0,5$$

Шаг 3: Упростим выражение:

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x — \cos x = 0,5$$ $$\cos x + \sin x — \cos x = 0,5$$

Шаг 4: Упростим уравнение:

$$\sin x = 0,5$$

Шаг 5: Теперь решим уравнение $\sin x = 0,5$.

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{6} = 0,5$, и поэтому общее решение будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

б)

Уравнение:

$$\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 1: Применим формулу для синуса разности углов:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{x}{2} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Подставим значения $\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в уравнение:

$$\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} \right) + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Упростим выражение:

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4: Упростим уравнение:

$$\cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 5: Теперь решим уравнение $\cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Знаем, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и общее решение будет:

$$\frac{x}{2} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 6: Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$$x = 2 \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n}$$