ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$$ $$$$б)

$$\sin x+\cos x=1$$в)$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x = 1;$$ $$$$г)$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$$

а)

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$$ $$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = 1;$$ $$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1;$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + 2\pi n}.$$

б)

$$\sin x + \cos x = 1 \quad \left| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right|;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{4} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = 2\pi k;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k+1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$

Ответ:

$$\boxed{2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k}.$$

в)

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x = 1;$$ $$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = 1;$$ $$\cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = 1;$$ $$x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n}.$$

г)

$$\sqrt{3} \cos x — \sin x = 1 \quad \left| \cdot \frac{1}{2} \right|;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2};$$ $$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = \frac{1}{2};$$ $$\cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k;$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k}.$$

а)

Исходное уравнение:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$$

Шаг 1: Применим формулу для разности углов для синуса:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставим в уравнение:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = 1$$

Шаг 2: Используем известное значение $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = 1$$

Шаг 3: Выносим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ за скобки:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \left( \sin x + \cos x \right) = 1$$

Шаг 4: Умножим обе части на 2 и разделим на $\sqrt{2}$:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2}$$

Шаг 5: Используем стандартное тригонометрическое тождество:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 6: Подставляем в уравнение:

$$\sqrt{2} \cdot \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

Шаг 7: Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно:

$$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 8: Решим относительно $x$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + 2\pi n}$$

б)

Исходное уравнение:

$$\sin x + \cos x = 1 \quad \left| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right|$$

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Используем формулу для разности углов для синуса:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Подставляем значения $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Применяем формулу для синуса разности углов:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5: Теперь решим уравнение:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 6: Разрешаем относительно $x$:

Для $n = 2k$:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = 2\pi k$$

Для $n = 2k+1$:

$$x_2 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k+1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$

Ответ:

$$\boxed{2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k}$$

в)

Исходное уравнение:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x = 1$$

Шаг 1: Применим формулу для косинуса разности углов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставим:

$$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = 1$$

Шаг 2: Получаем:

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = 1$$

Шаг 3: Теперь решим уравнение:

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = 1$$

Косинус равен 1 при $x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$.

$$x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$$

Шаг 4: Разрешаем относительно $x$:

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n}$$

г)

Исходное уравнение:

$$\sqrt{3} \cos x — \sin x = 1 \quad \left| \cdot \frac{1}{2} \right|$$

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на $\frac{1}{2}$:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Применим формулу для косинуса разности углов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставим:

$$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Получаем:

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решим уравнение $\cos \theta = \frac{1}{2}$. Косинус равен $\frac{1}{2}$ при $\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

$$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 5: Разрешаем относительно $x$:

Для $x_1$:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Для $x_2$:

$$x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n}$$