ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\cos t = -\frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, вычислите:

а) $\sin (t+\frac{\pi }{6})$

б) $\cos (t+\frac{3\pi }{2})$

в) $\cos (t+\frac{\pi }{6})$

г) $\sin (t+\frac{3\pi }{2})$

Известно, что $\cos t = -\frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\sin t = +\sqrt{1 — \cos^2 t} = \sqrt{1 — \left( \frac{5}{13} \right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$

а) $\sin \left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \sin t \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \cos t \cdot \sin \frac{\pi}{6} = \frac{12}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{5}{13} \cdot \frac{1}{2} = \frac{12\sqrt{3} — 5}{26}$;

Ответ: $\frac{12\sqrt{3} — 5}{26}$.

б) $\cos \left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos t \cdot \cos \frac{3\pi}{2} — \sin t \cdot \sin \frac{3\pi}{2} = -\frac{5}{13} \cdot 0 — \frac{12}{13} \cdot (-1) = \frac{12}{13}$;

Ответ: $\frac{12}{13}$.

в) $\cos \left(t + \frac{\pi}{6}\right) = \cos t \cdot \cos \frac{\pi}{6} — \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{6} = -\frac{5}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{12}{13} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-5\sqrt{3} — 12}{26}$;

Ответ: $\frac{-5\sqrt{3} — 12}{26}$.

г) $\sin \left(t + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin t \cdot \cos \frac{3\pi}{2} + \cos t \cdot \sin \frac{3\pi}{2} = \frac{12}{13} \cdot 0 — \frac{5}{13} \cdot (-1) = \frac{5}{13}$;

Ответ: $\frac{5}{13}$.

Известно, что $\cos t = -\frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$.

Мы имеем угол $t$, который находится во второй четверти (так как $t$ лежит между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$), и нужно найти значения для различных тригонометрических выражений, используя этот угол.

Шаг 1: Нахождение значения $\sin t$

Сначала находим $\sin t$, используя известное тождество Пифагора:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставим $\cos t = -\frac{5}{13}$:

$$\sin^2 t + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 t + \frac{25}{169} = 1$$

Теперь выразим $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Следовательно, $\sin t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$, так как мы знаем, что $t$ находится во второй четверти, где синус положителен.

Итак, $\sin t = \frac{12}{13}$.

Шаг 2: Часть а) $\sin \left( t + \frac{\pi}{6} \right)$

Используем формулу для синуса суммы углов:

$$\sin \left( t + \frac{\pi}{6} \right) = \sin t \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \cos t \cdot \sin \frac{\pi}{6}$$

Подставим известные значения для $\sin t$ и $\cos t$, а также значения для $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\sin \left( t + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{12}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left( -\frac{5}{13} \right) \cdot \frac{1}{2}$$

Решаем это выражение:

$$\sin \left( t + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{12\sqrt{3}}{26} — \frac{5}{26}$$

Объединяем дроби:

$$\sin \left( t + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{12\sqrt{3} — 5}{26}$$

Ответ: $\frac{12\sqrt{3} — 5}{26}$.

Шаг 3: Часть б) $\cos \left( t + \frac{3\pi}{2} \right)$

Используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos \left( t + \frac{3\pi}{2} \right) = \cos t \cdot \cos \frac{3\pi}{2} — \sin t \cdot \sin \frac{3\pi}{2}$$

Значения тригонометрических функций для $\frac{3\pi}{2}$ известны: $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$. Подставляем эти значения:

$$\cos \left( t + \frac{3\pi}{2} \right) = \left( -\frac{5}{13} \right) \cdot 0 — \frac{12}{13} \cdot (-1)$$

Упростим:

$$\cos \left( t + \frac{3\pi}{2} \right) = 0 + \frac{12}{13} = \frac{12}{13}$$

Ответ: $\frac{12}{13}$.

Шаг 4: Часть в) $\cos \left( t + \frac{\pi}{6} \right)$

Используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos \left( t + \frac{\pi}{6} \right) = \cos t \cdot \cos \frac{\pi}{6} — \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{6}$$

Подставляем известные значения для $\cos t = -\frac{5}{13}$, $\sin t = \frac{12}{13}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$$\cos \left( t + \frac{\pi}{6} \right) = \left( -\frac{5}{13} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{12}{13} \cdot \frac{1}{2}$$

Решаем это:

$$\cos \left( t + \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{5\sqrt{3}}{26} — \frac{12}{26}$$

Объединяем дроби:

$$\cos \left( t + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{-5\sqrt{3} — 12}{26}$$

Ответ: $\frac{-5\sqrt{3} — 12}{26}$.

Шаг 5: Часть г) $\sin \left( t + \frac{3\pi}{2} \right)$

Используем формулу для синуса суммы углов:

$$\sin \left( t + \frac{3\pi}{2} \right) = \sin t \cdot \cos \frac{3\pi}{2} + \cos t \cdot \sin \frac{3\pi}{2}$$

Значения тригонометрических функций для $\frac{3\pi}{2}$ известны: $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$. Подставляем эти значения:

$$\sin \left( t + \frac{3\pi}{2} \right) = \frac{12}{13} \cdot 0 + \left( -\frac{5}{13} \right) \cdot (-1)$$

Упростим:

$$\sin \left( t + \frac{3\pi}{2} \right) = 0 + \frac{5}{13} = \frac{5}{13}$$

Ответ: $\frac{5}{13}$.