ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\sin a = \frac{8}{17}$, $\cos \beta = \frac{4}{5}$, $0 < a < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, найдите значение выражения:

а) $\sin (a+\beta )$

б) $\cos (a+\beta )$

Известно, что $\sin a = \frac{8}{17}$, $\cos \beta = \frac{4}{5}$, $0 < a < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Точки $a$ и $\beta$ принадлежат первой четверти, значит:

$$\cos a = +\sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{\frac{289}{289} — \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17};$$ $$\sin \beta = +\sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$

а) $\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$;

$$\sin(a + \beta) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{77}{85};$$

Ответ: $\frac{77}{85}$.

б) $\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$;

$$\cos(a + \beta) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} — \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{60}{85} — \frac{24}{85} = \frac{36}{85};$$

Ответ: $\frac{36}{85}$.

Дано:

• $\sin a = \frac{8}{17}$
• $\cos \beta = \frac{4}{5}$
• $0 < a < \frac{\pi}{2}$
• $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$

Точки $a$ и $\beta$ принадлежат первой четверти, что означает, что и синус, и косинус для этих углов положительные.

Шаг 1: Находим $\cos a$ и $\sin \beta$

1.1. Нахождение $\cos a$:

Для нахождения $\cos a$ используем тождество:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Так как $\sin a = \frac{8}{17}$, подставим это значение в вышеуказанное тождество:

$$\cos^2 a + \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1$$ $$\cos^2 a + \frac{64}{289} = 1$$

Теперь, чтобы найти $\cos^2 a$, вычтем $\frac{64}{289}$ из 1:

$$\cos^2 a = 1 — \frac{64}{289} = \frac{289}{289} — \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон, так как $0 < a < \frac{\pi}{2}$, то $\cos a > 0$:

$$\cos a = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$$

1.2. Нахождение $\sin \beta$:

Аналогично, для нахождения $\sin \beta$ используем тождество:

$$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$

Так как $\cos \beta = \frac{4}{5}$, подставим это значение в тождество:

$$\sin^2 \beta + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \beta + \frac{16}{25} = 1$$

Теперь, чтобы найти $\sin^2 \beta$, вычтем $\frac{16}{25}$ из 1:

$$\sin^2 \beta = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон, так как $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, то $\sin \beta > 0$:

$$\sin \beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

Шаг 2: Находим $\sin(a + \beta)$ и $\cos(a + \beta)$

2.1. Нахождение $\sin(a + \beta)$:

Используем формулу для синуса суммы углов:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Подставляем известные значения:

$$\sin(a + \beta) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5}$$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$$\sin(a + \beta) = \frac{8 \cdot 4}{17 \cdot 5} + \frac{15 \cdot 3}{17 \cdot 5}$$ $$\sin(a + \beta) = \frac{32}{85} + \frac{45}{85}$$

Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$$\sin(a + \beta) = \frac{32 + 45}{85} = \frac{77}{85}$$

Ответ для $\sin(a + \beta)$: $\frac{77}{85}$.

2.2. Нахождение $\cos(a + \beta)$:

Используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$$

Подставляем известные значения:

$$\cos(a + \beta) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} — \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5}$$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$$\cos(a + \beta) = \frac{15 \cdot 4}{17 \cdot 5} — \frac{8 \cdot 3}{17 \cdot 5}$$ $$\cos(a + \beta) = \frac{60}{85} — \frac{24}{85}$$

Теперь вычтем дроби с одинаковым знаменателем:

$$\cos(a + \beta) = \frac{60 — 24}{85} = \frac{36}{85}$$

Ответ для $\cos(a + \beta)$: $\frac{36}{85}$.

Итоговый ответ:

• $\sin(a + \beta) = \frac{77}{85}$
• $\cos(a + \beta) = \frac{36}{85}$