ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\sin a = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = -\frac{15}{17}$, $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, найдите значение выражения:

а) $\sin (a+\beta )$

б) $\cos (a+\beta )$

Известно, что $\sin a = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = -\frac{15}{17}$, $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$;

Точки $a$ и $\beta$ принадлежат второй четверти, значит:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5};$$ $$\sin \beta = +\sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \left(\frac{15}{17}\right)^2} = \sqrt{\frac{289}{289} — \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17};$$

а) $\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$;

$$\sin(a + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = \frac{-60 — 24}{85} = -\frac{84}{85};$$

Ответ: $-\frac{84}{85}$.

б) $\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$;

$$\cos(a + \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) — \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{45 — 32}{85} = \frac{13}{85};$$

Ответ: $\frac{13}{85}$.

Дано:

$\sin a = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = -\frac{15}{17}$, $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Точки $a$ и $\beta$ находятся во второй четверти. Это важно, так как из этого мы можем сделать выводы о знаках синуса и косинуса для этих углов.

Часть 1: Нахождение $\cos a$ и $\sin \beta$

1.1. Нахождение $\cos a$:

Для начала найдем $\cos a$ из тригонометрической тождества, использующего $\sin a$ и $\cos a$:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Так как $\sin a = \frac{4}{5}$, подставим это в формулу:

$$\cos^2 a + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1$$ $$\cos^2 a + \frac{16}{25} = 1$$ $$\cos^2 a = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ $$\cos a = \pm \frac{3}{5}$$

Теперь, так как угол $a$ находится во второй четверти (где косинус отрицателен), выбираем отрицательное значение:

$$\cos a = -\frac{3}{5}$$

1.2. Нахождение $\sin \beta$:

Теперь найдем $\sin \beta$ из аналогичного тригонометрического тождества для угла $\beta$:

$$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$

Поскольку $\cos \beta = -\frac{15}{17}$, подставляем это значение:

$$\sin^2 \beta + \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \beta + \frac{225}{289} = 1$$ $$\sin^2 \beta = 1 — \frac{225}{289} = \frac{289}{289} — \frac{225}{289} = \frac{64}{289}$$ $$\sin \beta = \pm \frac{8}{17}$$

Так как угол $\beta$ находится во второй четверти (где синус положителен), выбираем положительное значение:

$$\sin \beta = \frac{8}{17}$$

Часть 2: Нахождение $\sin(a + \beta)$ и $\cos(a + \beta)$

Используем формулы сложения для синуса и косинуса:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$ $$\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$$

2.1. Нахождение $\sin(a + \beta)$:

Подставим известные значения:

$$\sin(a + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17}$$

Выполним умножение в каждой части:

$$\sin(a + \beta) = \frac{-60}{85} + \frac{-24}{85}$$

Теперь сложим дроби:

$$\sin(a + \beta) = \frac{-60 — 24}{85} = \frac{-84}{85}$$

Ответ для $\sin(a + \beta)$:

$$\boxed{-\frac{84}{85}}$$

2.2. Нахождение $\cos(a + \beta)$:

Теперь вычислим $\cos(a + \beta)$:

$$\cos(a + \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) — \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17}$$

Выполним умножение в каждой части:

$$\cos(a + \beta) = \frac{45}{85} — \frac{32}{85}$$

Теперь сложим дроби:

$$\cos(a + \beta) = \frac{45 — 32}{85} = \frac{13}{85}$$

Ответ для $\cos(a + \beta)$:

$$\boxed{\frac{13}{85}}$$

Ответ:

а) $\sin(a + \beta) = -\frac{84}{85}$
б) $\cos(a + \beta) = \frac{13}{85}$