ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\sin t = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, вычислите:

а) $\sin (\frac{\pi }{3}-t)$

б) $\cos (t-\frac{\pi }{2})$

в) $\sin (\frac{\pi }{2}-t)$

г) $\cos (\frac{\pi }{3}-t)$

Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\cos t = -\sqrt{1 — \sin^2 t} = -\sqrt{1 — \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13};$$

а) $\sin \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin t$;

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) — \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13} = -\frac{12\sqrt{3} + 5}{26};$$

Ответ: $-\frac{12\sqrt{3} + 5}{26}$.

б) $\cos \left( t — \frac{\pi}{2} \right) = \cos t \cdot \cos \frac{\pi}{2} + \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{2}$;

$$\cos \left( t — \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{12}{13} \cdot 0 + \frac{5}{13} \cdot 1 = \frac{5}{13};$$

Ответ: $\frac{5}{13}$.

в) $\sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right) = \sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{2} \cdot \sin t$;

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right) = 1 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) — 0 \cdot \frac{5}{13} = -\frac{12}{13};$$

Ответ: $-\frac{12}{13}$.

г) $\cos \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos t + \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin t$;

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5}{13} = \frac{-12 + 5\sqrt{3}}{26};$$

Ответ: $\frac{5\sqrt{3} — 12}{26}$.

Дано:

$$\sin t = \frac{5}{13}, \quad \frac{\pi}{2} < t < \pi.$$

Из условия задачи мы видим, что угол $t$ находится во второй четверти на единичной окружности. Это означает, что значение косинуса в этой четверти отрицательно.

Шаг 1: Найдем $\cos t$

Используем основной тригонометрический тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$. Подставим это значение в уравнение:

$$\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 t = 1,$$ $$\frac{25}{169} + \cos^2 t = 1.$$

Теперь перенесем $\frac{25}{169}$ в правую часть:

$$\cos^2 t = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t = \pm \frac{12}{13}.$$

Но так как угол $t$ находится во второй четверти, где $\cos t$ отрицателен, то:

$$\cos t = -\frac{12}{13}.$$

Шаг 2: Рассмотрим каждый пункт задачи

а) $\sin \left( \frac{\pi}{3} — t \right)$

Для нахождения $\sin \left( \frac{\pi}{3} — t \right)$ используем формулу разности синусов:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B.$$

Подставим $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = t$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin t.$$

Значения $\sin \frac{\pi}{3}$ и $\cos \frac{\pi}{3}$ известны:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

Теперь подставляем известные значения для $\sin t = \frac{5}{13}$ и $\cos t = -\frac{12}{13}$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) — \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13}.$$

Выполним умножение:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = -\frac{12\sqrt{3}}{26} — \frac{5}{26}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = -\frac{12\sqrt{3} + 5}{26}.$$

Ответ:

$$-\frac{12\sqrt{3} + 5}{26}.$$

б) $\cos \left( t — \frac{\pi}{2} \right)$

Для нахождения $\cos \left( t — \frac{\pi}{2} \right)$ используем формулу разности косинусов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B.$$

Подставим $A = t$ и $B = \frac{\pi}{2}$:

$$\cos \left( t — \frac{\pi}{2} \right) = \cos t \cdot \cos \frac{\pi}{2} + \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{2}.$$

Значения $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{\pi}{2} = 1$:

$$\cos \left( t — \frac{\pi}{2} \right) = \cos t \cdot 0 + \sin t \cdot 1.$$

Подставляем $\cos t = -\frac{12}{13}$ и $\sin t = \frac{5}{13}$:

$$\cos \left( t — \frac{\pi}{2} \right) = 0 + \frac{5}{13} = \frac{5}{13}.$$

Ответ:

$$\frac{5}{13}.$$

в) $\sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right)$

Для нахождения $\sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right)$ используем формулу разности синусов:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right) = \sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{2} \cdot \sin t.$$

Значения $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ и $\cos \frac{\pi}{2} = 0$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right) = 1 \cdot \cos t — 0 \cdot \sin t.$$

Подставляем $\cos t = -\frac{12}{13}$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right) = -\frac{12}{13}.$$

Ответ:

$$-\frac{12}{13}.$$

г) $\cos \left( \frac{\pi}{3} — t \right)$

Для нахождения $\cos \left( \frac{\pi}{3} — t \right)$ используем формулу разности косинусов:

$$\cos(A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B.$$

Подставим $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = t$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos t + \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin t.$$

Значения $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5}{13}.$$

Выполним умножение:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = -\frac{12}{26} + \frac{5\sqrt{3}}{26}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \frac{-12 + 5\sqrt{3}}{26}.$$

Ответ:

$$\frac{5\sqrt{3} — 12}{26}.$$

Итоговые ответы:

1. $\sin \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = -\frac{12\sqrt{3} + 5}{26}$.
2. $\cos \left( t — \frac{\pi}{2} \right) = \frac{5}{13}$.
3. $\sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right) = -\frac{12}{13}$.
4. $\cos \left( \frac{\pi}{3} — t \right) = \frac{5\sqrt{3} — 12}{26}$.