ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\cos t = \frac{3}{5}$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$, вычислите:

а) $\sin (t-\frac{\pi }{6})$

б) $\sin (t-\frac{3\pi }{2})$

в) $\cos (t-\frac{3\pi }{2})$

г) $\cos (t-\frac{\pi }{6})$

Известно, что $\cos t = \frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти, значит:

$$\sin t = -\sqrt{1 — \cos^2 t} = -\sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5};$$

а) $\sin\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = \sin t \cdot \cos \frac{\pi}{6} — \cos t \cdot \sin \frac{\pi}{6} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$;

Ответ: $-\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.

б) $\sin\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = \sin t \cdot \cos \frac{3\pi}{2} — \cos t \cdot \sin \frac{3\pi}{2} = -\frac{4}{5} \cdot 0 — \frac{3}{5} \cdot (-1) = \frac{3}{5}$;

Ответ: $\frac{3}{5}$.

в) $\cos\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = \cos t \cdot \cos \frac{3\pi}{2} + \sin t \cdot \sin \frac{3\pi}{2} = \frac{3}{5} \cdot 0 + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot (-1) = \frac{4}{5}$;

Ответ: $\frac{4}{5}$.

г) $\cos\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = \cos t \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{6} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3} — 4}{10}$;

Ответ: $\frac{3\sqrt{3} — 4}{10}$.

Известно, что $\cos t = \frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Это означает, что угол $t$ находится в четвертой четверти единичной окружности, где синус отрицателен, а косинус положителен.

Шаг 1: Находим значение $\sin t$

Из основного тождества тригонометрии для угла $t$:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Заменим $\cos t$ на известное значение:

$$\sin^2 t + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$$

Решаем это уравнение:

$$\sin^2 t + \frac{9}{25} = 1$$

Вычитаем $\frac{9}{25}$ из обеих частей:

$$\sin^2 t = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25}{25} — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Теперь находим $\sin t$ (поскольку $t$ находится в четвертой четверти, синус отрицателен):

$$\sin t = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$$

Итак, $\sin t = -\frac{4}{5}$.

Шаг 2: Находим значения тригонометрических функций для выражений

а) $\sin\left(t — \frac{\pi}{6}\right)$

Используем формулу для синуса разности:

$$\sin\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = \sin t \cdot \cos \frac{\pi}{6} — \cos t \cdot \sin \frac{\pi}{6}$$

Заменяем известные значения:

$$\sin t = -\frac{4}{5}, \quad \cos t = \frac{3}{5}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Подставляем их в формулу:

$$\sin\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{2}$$

Выполняем умножение:

$$\sin\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{4\sqrt{3}}{10} — \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$$

Ответ: $-\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.

б) $\sin\left(t — \frac{3\pi}{2}\right)$

Используем формулу для синуса разности:

$$\sin\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = \sin t \cdot \cos \frac{3\pi}{2} — \cos t \cdot \sin \frac{3\pi}{2}$$

Заменяем значения:

$$\sin t = -\frac{4}{5}, \quad \cos t = \frac{3}{5}, \quad \cos \frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1$$

Подставляем их в формулу:

$$\sin\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot 0 — \left(\frac{3}{5}\right) \cdot (-1)$$

Выполняем умножение:

$$\sin\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = 0 + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$$

Ответ: $\frac{3}{5}$.

в) $\cos\left(t — \frac{3\pi}{2}\right)$

Используем формулу для косинуса разности:

$$\cos\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = \cos t \cdot \cos \frac{3\pi}{2} + \sin t \cdot \sin \frac{3\pi}{2}$$

Заменяем значения:

$$\cos t = \frac{3}{5}, \quad \sin t = -\frac{4}{5}, \quad \cos \frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1$$

Подставляем их в формулу:

$$\cos\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = \left(\frac{3}{5}\right) \cdot 0 + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot (-1)$$

Выполняем умножение:

$$\cos\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = 0 + \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

г) $\cos\left(t — \frac{\pi}{6}\right)$

Используем формулу для косинуса разности:

$$\cos\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = \cos t \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{6}$$

Заменяем значения:

$$\cos t = \frac{3}{5}, \quad \sin t = -\frac{4}{5}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Подставляем их в формулу:

$$\cos\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{1}{2}$$

Выполняем умножение:

$$\cos\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{10} — \frac{4}{10} = \frac{3\sqrt{3} — 4}{10}$$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3} — 4}{10}$.

Итоговые ответы:

1. $\sin\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$
2. $\sin\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}$
3. $\cos\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{4}{5}$
4. $\cos\left(t — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3} — 4}{10}$