ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\sin a = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = -\frac{15}{17}$, $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, вычислите:

а) $\sin (a-\beta )$

б) $\cos (a-\beta )$

Известно, что $\sin a = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = -\frac{15}{17}$, $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$;

Точки $a$ и $\beta$ принадлежат второй четверти, значит:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5};$$ $$\sin \beta = +\sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \left(\frac{15}{17}\right)^2} = \sqrt{\frac{289}{289} — \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17};$$

а) $\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$;

$$\sin(a — \beta) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) — \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = \frac{-60 + 24}{85} = -\frac{36}{85};$$

Ответ: $-\frac{36}{85}$.

б) $\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$;

$$\cos(a — \beta) = -\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{45 + 32}{85} = \frac{77}{85};$$

Ответ: $\frac{77}{85}$.

Мы знаем, что:

• $\sin a = \frac{4}{5}$,
• $\cos \beta = -\frac{15}{17}$,
• $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ (то есть угол $a$ лежит во второй четверти),
• $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ (то есть угол $\beta$ также лежит во второй четверти).

Мы будем использовать основные тригонометрические тождества для нахождения значений $\cos a$ и $\sin \beta$, а затем вычислим значения для $\sin(a — \beta)$ и $\cos(a — \beta)$.

1. Нахождение значения $\cos a$

Задано $\sin a = \frac{4}{5}$, и угол $a$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Используем тождество Пифагора:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Подставляем известное значение $\sin a$:

$$\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1$$

Вычисляем квадрат синуса:

$$\frac{16}{25} + \cos^2 a = 1$$

Теперь переносим $\frac{16}{25}$ в правую часть:

$$\cos^2 a = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$$\cos a = \pm \frac{3}{5}$$

Так как угол $a$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, мы выбираем отрицательное значение:

$$\cos a = -\frac{3}{5}$$

2. Нахождение значения $\sin \beta$

Задано $\cos \beta = -\frac{15}{17}$, и угол $\beta$ также лежит во второй четверти, где синус положителен. Используем то же самое тождество Пифагора:

$$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$

Подставляем известное значение $\cos \beta$:

$$\sin^2 \beta + \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = 1$$

Вычисляем квадрат косинуса:

$$\sin^2 \beta + \frac{225}{289} = 1$$

Теперь переносим $\frac{225}{289}$ в правую часть:

$$\sin^2 \beta = 1 — \frac{225}{289} = \frac{289}{289} — \frac{225}{289} = \frac{64}{289}$$

Извлекаем корень из обеих сторон:

$$\sin \beta = \pm \frac{8}{17}$$

Так как угол $\beta$ лежит во второй четверти, где синус положителен, мы выбираем положительное значение:

$$\sin \beta = \frac{8}{17}$$

3. Нахождение значения $\sin(a — \beta)$

Используем формулу для синуса разности углов:

$$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$$

Подставляем известные значения:

$$\sin(a — \beta) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) — \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17}$$

Выполняем умножение в первой части выражения:

$$\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) = \frac{-60}{85}$$

Во второй части выражения:

$$\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = \frac{24}{85}$$

Теперь складываем оба результата:

$$\sin(a — \beta) = \frac{-60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{-60 + 24}{85} = \frac{-36}{85}$$

Ответ для $\sin(a — \beta)$:

$$\sin(a — \beta) = -\frac{36}{85}$$

4. Нахождение значения $\cos(a — \beta)$

Используем формулу для косинуса разности углов:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$$

Подставляем известные значения:

$$\cos(a — \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17}$$

Выполняем умножение в первой части выражения:

$$\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) = \frac{45}{85}$$

Во второй части выражения:

$$\frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{32}{85}$$

Теперь складываем оба результата:

$$\cos(a — \beta) = \frac{45}{85} + \frac{32}{85} = \frac{45 + 32}{85} = \frac{77}{85}$$

Ответ для $\cos(a — \beta)$:

$$\cos(a — \beta) = \frac{77}{85}$$

Итоговые ответы:

• $\sin(a — \beta) = -\frac{36}{85}$
• $\cos(a — \beta) = \frac{77}{85}$