ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\sin \beta = -\frac{12}{13}$, $\cos \alpha = -0,8$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, вычислите:

a) $\sin (\alpha -\beta )$

б) $\cos (\alpha -\beta )$

Известно, что $\sin \beta = -\frac{12}{13}$, $\cos \alpha = -0,8$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

Точки $\beta$ принадлежит третьей четверти, а точка $\alpha$ — второй, значит:

$$\cos \beta = -\sqrt{1 — \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 — \left(\frac{12}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$ $$\cos \alpha = -0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5};$$ $$\sin \alpha = +\sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$

a) $\sin (\alpha — \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta — \cos \alpha \cdot \sin \beta$;

$$\sin (\alpha — \beta) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) — \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{-15 — 48}{65} = -\frac{63}{65};$$

Ответ: $-\frac{63}{65}$.

б) $\cos (\alpha — \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta$;

$$\cos (\alpha — \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{20 — 36}{65} = -\frac{16}{65};$$

Ответ: $-\frac{16}{65}$.

У нас есть данные значения:

• $\sin \beta = -\frac{12}{13}$,
• $\cos \alpha = -0,8$,
• $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ (то есть угол $\beta$ находится в третьей четверти),
• $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (то есть угол $\alpha$ находится во второй четверти).

Мы должны найти значения для $\sin (\alpha — \beta)$ и $\cos (\alpha — \beta)$, используя тригонометрические формулы разности углов.

Шаг 1: Вычисление $\cos \beta$

Известно, что $\sin \beta = -\frac{12}{13}$, и угол $\beta$ лежит в третьей четверти, то есть и $\cos \beta$, и $\sin \beta$ будут отрицательными.

По теореме Пифагора:

$$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$

Подставляем известное значение $\sin \beta = -\frac{12}{13}$:

$$\left(-\frac{12}{13}\right)^2 + \cos^2 \beta = 1$$ $$\frac{144}{169} + \cos^2 \beta = 1$$ $$\cos^2 \beta = 1 — \frac{144}{169} = \frac{169}{169} — \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos \beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$$

Мы выбираем знак минус, так как $\cos \beta$ в третьей четверти отрицателен.

Шаг 2: Вычисление $\cos \alpha$

Дано, что $\cos \alpha = -0,8$, что можно записать как:

$$\cos \alpha = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$$

Также угол $\alpha$ лежит во второй четверти, где $\sin \alpha$ положительное, а $\cos \alpha$ отрицательное.

Шаг 3: Вычисление $\sin \alpha$

Для нахождения $\sin \alpha$ используем теорему Пифагора:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Подставляем значение $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$:

$$\sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1$$ $$\sin^2 \alpha = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

Мы выбираем знак плюс, так как $\sin \alpha$ во второй четверти положителен.

Шаг 4: Вычисление $\sin (\alpha — \beta)$

Используем формулу для синуса разности углов:

$$\sin (\alpha — \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta — \cos \alpha \cdot \sin \beta$$

Подставляем известные значения:

$$\sin (\alpha — \beta) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) — \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right)$$

Теперь вычислим каждое произведение:

1. $\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{-15}{65}$,
2. $\left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{48}{65}$.

Теперь подставим это в исходную формулу:

$$\sin (\alpha — \beta) = \frac{-15}{65} — \frac{48}{65} = \frac{-15 — 48}{65} = \frac{-63}{65}$$

Ответ для $\sin (\alpha — \beta)$:

$$\sin (\alpha — \beta) = -\frac{63}{65}$$

Шаг 5: Вычисление $\cos (\alpha — \beta)$

Используем формулу для косинуса разности углов:

$$\cos (\alpha — \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta$$

Подставляем известные значения:

$$\cos (\alpha — \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right)$$

Теперь вычислим каждое произведение:

1. $\left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{20}{65}$,
2. $\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{-36}{65}$.

Теперь подставим это в исходную формулу:

$$\cos (\alpha — \beta) = \frac{20}{65} + \frac{-36}{65} = \frac{20 — 36}{65} = \frac{-16}{65}$$

Ответ для $\cos (\alpha — \beta)$:

$$\cos (\alpha — \beta) = -\frac{16}{65}$$

Итог:

Ответ для синуса разности:

$$\sin (\alpha — \beta) = -\frac{63}{65}$$

Ответ для косинуса разности:

$$\cos (\alpha — \beta) = -\frac{16}{65}$$