ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а)

$$\sin 5x \cdot \cos 3x — \cos 5x \cdot \sin 3x > \frac{1}{2};$$ $$$$б)

$$\cos x \cdot \cos \frac{x}{2} + \sin x \cdot \sin \frac{x}{2} < -\frac{2}{7};$$ $$$$в)

$$\sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{4} \cdot \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3};$$ $$$$г)

$$\sin 2x\cdot \sin 5x+\cos 2x\cdot \cos 5x>-\frac{\sqrt{3}}{2};$$

а)

$$\sin 5x \cdot \cos 3x — \cos 5x \cdot \sin 3x > \frac{1}{2};$$ $$\sin(5x — 3x) > \frac{1}{2};$$ $$\sin 2x > \frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{5\pi}{12} + \pi n;$$

б)

$$\cos x \cdot \cos \frac{x}{2} + \sin x \cdot \sin \frac{x}{2} < -\frac{2}{7};$$ $$\cos \left(x — \frac{x}{2}\right) < -\frac{2}{7};$$ $$\cos \frac{x}{2} < -\frac{2}{7};$$ $$\frac{x}{2} = \pm \arccos \left(-\frac{2}{7}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \arccos \frac{2}{7}\right) + 2\pi n;$$ $$\arccos \left(-\frac{2}{7}\right) + 2\pi n < \frac{x}{2} < \pi + \arccos \frac{2}{7} + 2\pi n;$$ $$2 \arccos \left(-\frac{2}{7}\right) + 4\pi n < x < 2\pi + 2 \arccos \frac{2}{7} + 4\pi n;$$

в)

$$\sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{4} \cdot \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3};$$ $$\sin \left(\frac{x}{4} — \frac{x}{2}\right) < \frac{1}{3};$$ $$\sin \left(-\frac{x}{4}\right) < \frac{1}{3};$$ $$\sin \frac{x}{4} > -\frac{1}{3};$$ $$\frac{x}{4} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$ $$-\arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n < \frac{x}{4} < \pi + \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$-4 \arcsin \frac{1}{3} + 8\pi n < x < 4\pi + 4 \arcsin \frac{1}{3} + 8\pi n;$$

г)

$$\sin 2x \cdot \sin 5x + \cos 2x \cdot \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos(5x — 2x) > -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos 3x > -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$3x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3};$$

а)

Дано неравенство:

$$\sin 5x \cdot \cos 3x — \cos 5x \cdot \sin 3x > \frac{1}{2}$$

Используем формулу для синуса разности:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Тогда выражение можно преобразовать следующим образом:

$$\sin(5x — 3x) > \frac{1}{2}$$

Упростим:

$$\sin 2x > \frac{1}{2}$$

Решаем неравенство $\sin 2x > \frac{1}{2}$:
Чтобы решить это неравенство, вспомним, что $\sin \theta = \frac{1}{2}$ при $\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Неравенство $\sin 2x > \frac{1}{2}$ будет выполняться, если угол $2x$ лежит в интервале от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$ (включая концы). То есть:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Делим неравенство на 2:

$$\frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{5\pi}{12} + \pi n$$

Это решение для переменной $x$.

б)

Дано неравенство:

$$\cos x \cdot \cos \frac{x}{2} + \sin x \cdot \sin \frac{x}{2} < -\frac{2}{7}$$

Используем формулу для косинуса суммы:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Тогда, применяя эту формулу, выражение преобразуется в:

$$\cos \left(x — \frac{x}{2}\right) < -\frac{2}{7}$$

Упростим:

$$\cos \frac{x}{2} < -\frac{2}{7}$$

Решаем неравенство $\cos \frac{x}{2} < -\frac{2}{7}$:
Мы знаем, что $\cos \theta = -\frac{2}{7}$ при $\theta = \arccos \left(-\frac{2}{7}\right) + 2k\pi$ и $\theta = -\arccos \left(-\frac{2}{7}\right) + 2k\pi$.

Таким образом, неравенство $\cos \frac{x}{2} < -\frac{2}{7}$ будет выполняться, если $\frac{x}{2}$ лежит в интервале от $\arccos \left(-\frac{2}{7}\right)$ до $\pi + \arccos \left(\frac{2}{7}\right)$:

$$\arccos \left(-\frac{2}{7}\right) + 2\pi n < \frac{x}{2} < \pi + \arccos \left(\frac{2}{7}\right) + 2\pi n$$

Делим неравенство на 2:
Умножаем неравенство на 2, чтобы найти границы для $x$:

$$2 \arccos \left(-\frac{2}{7}\right) + 4\pi n < x < 2\pi + 2 \arccos \frac{2}{7} + 4\pi n$$

Это решение для $x$.

в)

Дано неравенство:

$$\sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{4} \cdot \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3}$$

Используем формулу для синуса разности:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Применяем эту формулу к нашему выражению:

$$\sin \left(\frac{x}{4} — \frac{x}{2}\right) < \frac{1}{3}$$

Упрощаем:

$$\sin \left(-\frac{x}{4}\right) < \frac{1}{3}$$

Используем, что $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$:

$$-\sin \frac{x}{4} < \frac{1}{3}$$

Умножаем обе части неравенства на -1 (меняется знак неравенства):

$$\sin \frac{x}{4} > -\frac{1}{3}$$

Решаем неравенство $\sin \frac{x}{4} > -\frac{1}{3}$:
Для этого используем, что $\sin \theta = -\frac{1}{3}$ при $\theta = \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi$ и $\theta = \pi — \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi$.

Неравенство будет выполнено, если $\frac{x}{4}$ лежит в интервале от $-\arcsin \frac{1}{3}$ до $\pi + \arcsin \frac{1}{3}$:

$$-\arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n < \frac{x}{4} < \pi + \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Умножаем на 4:

$$-4 \arcsin \frac{1}{3} + 8\pi n < x < 4\pi + 4 \arcsin \frac{1}{3} + 8\pi n$$

Это решение для $x$.

г)

Дано неравенство:

$$\sin 2x \cdot \sin 5x + \cos 2x \cdot \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Используем формулу для косинуса суммы:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Тогда выражение можно преобразовать:

$$\cos(5x — 2x) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Упростим:

$$\cos 3x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решаем неравенство $\cos 3x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
Мы знаем, что $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $\theta = \pm \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2k\pi$. Так как $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, то:

$$3x = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Решаем неравенство:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Делим на 3:

$$-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$$

Это решение для $x$.