ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а)

$$\sin x \cdot \cos 3x + \cos x \cdot \sin 3x > \frac{1}{2};$$ $$$$б)

$$\cos 2x \cdot \cos 5x — \sin 2x \cdot \sin 5x < -\frac{1}{3};$$ $$$$в)

$$\sin x \cdot \cos \frac{x}{2} + \cos x \cdot \sin \frac{x}{2} \leq -\frac{2}{7};$$ $$$$г)

$$\cos \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{4}-\sin \frac{x}{2}\cdot \sin \frac{x}{4}>\frac{\sqrt{2}}{2}$$

а)

$$\sin x \cdot \cos 3x + \cos x \cdot \sin 3x > \frac{1}{2};$$ $$\sin(x + 3x) > \frac{1}{2};$$ $$\sin 4x > \frac{1}{2};$$ $$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2};$$

б)

$$\cos 2x \cdot \cos 5x — \sin 2x \cdot \sin 5x < -\frac{1}{3};$$ $$\cos(2x + 5x) < -\frac{1}{3};$$ $$\cos 7x < -\frac{1}{3};$$ $$7x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n;$$ $$\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < 7x < 2\pi — \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n;$$ $$\frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7} < x < \frac{2\pi}{7} — \frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7};$$

в)

$$\sin x \cdot \cos \frac{x}{2} + \cos x \cdot \sin \frac{x}{2} \leq -\frac{2}{7};$$ $$\sin\left(x + \frac{x}{2}\right) \leq -\frac{2}{7};$$ $$\sin \frac{3x}{2} \leq -\frac{2}{7};$$ $$\frac{3x}{2} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{2}{7} + \pi n;$$ $$\pi + \arcsin \frac{2}{7} + 2\pi n \leq \frac{3x}{2} \leq 2\pi — \arcsin \frac{2}{7} + 2\pi n;$$ $$\frac{2\pi}{3} + \frac{2}{3} \arcsin \frac{2}{7} + \frac{4\pi n}{3} \leq x \leq \frac{4\pi}{3} — \frac{2}{3} \arcsin \frac{2}{7} + \frac{4\pi n}{3};$$

г)

$$\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} — \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{4}\right) > \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \frac{3x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\frac{3x}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < \frac{3x}{4} < \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3};$$

а)

Неравенство:

$$\sin x \cdot \cos 3x + \cos x \cdot \sin 3x > \frac{1}{2}$$

Используем формулу для синуса суммы углов:
Согласно формуле для синуса суммы:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Мы можем переписать исходное выражение, применив эту формулу:

$$\sin(x + 3x) > \frac{1}{2}$$

Упростим выражение:

$$\sin 4x > \frac{1}{2}$$

Решаем неравенство $\sin 4x > \frac{1}{2}$:
Мы знаем, что $\sin \theta = \frac{1}{2}$ при $\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Неравенство $\sin 4x > \frac{1}{2}$ выполнено, если угол $4x$ находится в интервале от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$. Следовательно, для $4x$:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Делим на 4:
Разделим неравенство на 4, чтобы получить решение для $x$:

$$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$$

Таким образом, решение для $x$:

$$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$$

б)

Неравенство:

$$\cos 2x \cdot \cos 5x — \sin 2x \cdot \sin 5x < -\frac{1}{3}$$

Используем формулу для косинуса суммы углов:
Используем формулу для косинуса суммы:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Тогда преобразуем исходное выражение:

$$\cos(2x + 5x) < -\frac{1}{3}$$

Упрощаем выражение:

$$\cos 7x < -\frac{1}{3}$$

Решаем неравенство $\cos 7x < -\frac{1}{3}$:
Мы знаем, что $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ при $\theta = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi$ и $\theta = 2\pi — \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi$.

Следовательно, неравенство $\cos 7x < -\frac{1}{3}$ будет выполнено, если $7x$ лежит в интервале от $\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$ до $2\pi — \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$. То есть:

$$\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < 7x < 2\pi — \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$$

Делим на 7:
Разделим неравенство на 7, чтобы найти решение для $x$:

$$\frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7} < x < \frac{2\pi}{7} — \frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7}$$

Таким образом, решение для $x$:

$$\frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7} < x < \frac{2\pi}{7} — \frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7}$$

в)

Неравенство:

$$\sin x \cdot \cos \frac{x}{2} + \cos x \cdot \sin \frac{x}{2} \leq -\frac{2}{7}$$

Используем формулу для синуса суммы углов:
По формуле для синуса суммы:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Преобразуем исходное выражение:

$$\sin\left(x + \frac{x}{2}\right) \leq -\frac{2}{7}$$

Упрощаем выражение:

$$\sin \frac{3x}{2} \leq -\frac{2}{7}$$

Решаем неравенство $\sin \frac{3x}{2} \leq -\frac{2}{7}$:
Мы знаем, что $\sin \theta = -\frac{2}{7}$ при $\theta = \arcsin\left(-\frac{2}{7}\right) + 2k\pi$ и $\theta = \pi — \arcsin\left(-\frac{2}{7}\right) + 2k\pi$.

Следовательно, неравенство $\sin \frac{3x}{2} \leq -\frac{2}{7}$ будет выполнено, если $\frac{3x}{2}$ лежит в интервале от $\arcsin\left(-\frac{2}{7}\right)$ до $\pi — \arcsin\left(-\frac{2}{7}\right)$, и также на второй половине круга:

$$\pi + \arcsin\frac{2}{7} + 2\pi n \leq \frac{3x}{2} \leq 2\pi — \arcsin\frac{2}{7} + 2\pi n$$

Делим на 3:
Разделим неравенство на 3, чтобы найти решение для $x$:

$$\frac{2\pi}{3} + \frac{2}{3} \arcsin\frac{2}{7} + \frac{4\pi n}{3} \leq x \leq \frac{4\pi}{3} — \frac{2}{3} \arcsin\frac{2}{7} + \frac{4\pi n}{3}$$

Таким образом, решение для $x$:

$$\frac{2\pi}{3} + \frac{2}{3} \arcsin \frac{2}{7} + \frac{4\pi n}{3} \leq x \leq \frac{4\pi}{3} — \frac{2}{3} \arcsin \frac{2}{7} + \frac{4\pi n}{3}$$

г)

Неравенство:

$$\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} — \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Используем формулу для косинуса суммы углов:
Применяем формулу для косинуса суммы:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Таким образом:

$$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{4}\right) > \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Упрощаем выражение:

$$\cos \frac{3x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решаем неравенство $\cos \frac{3x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2}$:
Мы знаем, что $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ при $\theta = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi$. Следовательно, неравенство $\cos \frac{3x}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполнено, если $\frac{3x}{4}$ лежит в интервале от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$. То есть:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < \frac{3x}{4} < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Делим на 3:
Разделим неравенство на 3, чтобы найти решение для $x$:

$$-\frac{\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}$$

Таким образом, решение для $x$:

$$-\frac{\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}$$