ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что для любого действительного значения х справедливо неравенство:

а)

$$\sin (5+x)\cdot \cos x<\cos (5+x)\cdot \sin x$$

б)

$$\cos (7-2x)\cdot \cos 2x>\sin (7-2x)\cdot \sin 2x$$

Доказать, что равенство справедливо при любом значении $x$:

а)

$$\sin(5 + x) \cdot \cos x < \cos(5 + x) \cdot \sin x$$

Перепишем исходное неравенство:

$$\sin(5 + x) \cdot \cos x — \cos(5 + x) \cdot \sin x < 0$$

Используем формулу для синуса разности:
Применяя формулу для синуса разности $\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$, получаем:

$$\sin((5 + x) — x) < 0$$

Упрощаем выражение:

$$\sin 5 < 0$$

Анализируем $\sin 5$:
Число 5 принадлежит четвертой четверти, так как:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$$

Следовательно:

$$\sin 5 < 0$$

Заключение:
Это и требовалось доказать.

б)

$$\cos(7 — 2x) \cdot \cos 2x > \sin(7 — 2x) \cdot \sin 2x$$

Перепишем исходное неравенство:

$$\cos(7 — 2x) \cdot \cos 2x — \sin(7 — 2x) \cdot \sin 2x > 0$$

Используем формулу для косинуса суммы:
Применяя формулу для косинуса суммы $\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$, получаем:

$$\cos((7 — 2x) + 2x) > 0$$

Упрощаем выражение:

$$\cos 7 > 0$$

Анализируем $\cos 7$:
Число 7 принадлежит первой четверти, так как:

$$2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2}$$

Следовательно:

$$\cos 7 > 0$$

Заключение:
Это и требовалось доказать.

а)

Неравенство:

$$\sin(5 + x) \cdot \cos x < \cos(5 + x) \cdot \sin x$$

Перепишем неравенство:
Исходное неравенство можно записать так:

$$\sin(5 + x) \cdot \cos x — \cos(5 + x) \cdot \sin x < 0$$

Применим формулу для синуса разности:
Мы знаем, что:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Используя эту формулу, мы можем преобразовать левую часть неравенства:

$$\sin((5 + x) — x) < 0$$

Упрощаем выражение:
Внутри синуса $(5 + x) — x = 5$, таким образом, выражение преобразуется в:

$$\sin 5 < 0$$

Анализируем значение $\sin 5$:
Теперь нужно понять, в какой четверти находится число 5 радиан. Для этого помним, что синус отрицателен в третьей и четвертой четвертях. Рассмотрим числовые границы:

• $\frac{3\pi}{2} \approx 4.712$
• $2\pi \approx 6.283$

Число 5 находится между $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$, то есть в четвертой четверти, где $\sin \theta < 0$.

Следовательно:

$$\sin 5 < 0$$

Заключение:
Мы доказали, что:

$$\sin(5 + x) \cdot \cos x — \cos(5 + x) \cdot \sin x < 0$$

что и требовалось доказать.

б)

Неравенство:

$$\cos(7 — 2x) \cdot \cos 2x > \sin(7 — 2x) \cdot \sin 2x$$

Перепишем неравенство:
Перепишем исходное неравенство следующим образом:

$$\cos(7 — 2x) \cdot \cos 2x — \sin(7 — 2x) \cdot \sin 2x > 0$$

Применим формулу для косинуса суммы:
Мы знаем, что:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Таким образом, выражение можно преобразовать:

$$\cos((7 — 2x) + 2x) > 0$$

Упрощаем выражение:
Внутри косинуса $(7 — 2x) + 2x = 7$, так что выражение превращается в:

$$\cos 7 > 0$$

Анализируем значение $\cos 7$:
Теперь нужно выяснить, в какой четверти находится число 7 радиан. Для этого вспомним, что косинус положителен в первой и четвертой четвертях. Рассмотрим числовые границы:

• $0$ (начало первой четверти)
• $\pi \approx 3.1416$
• $2\pi \approx 6.2832$
• $\frac{5\pi}{2} \approx 7.854$

Число 7 лежит между $2\pi$ и $\frac{5\pi}{2}$, то есть в первой четверти, где $\cos \theta > 0$.

Следовательно:

$$\cos 7 > 0$$

Заключение:
Мы доказали, что:

$$\cos(7 — 2x) \cdot \cos 2x — \sin(7 — 2x) \cdot \sin 2x > 0$$

что и требовалось доказать.

Итог

Мы успешно доказали оба неравенства:

а) $\sin(5 + x) \cdot \cos x — \cos(5 + x) \cdot \sin x < 0$, что эквивалентно $\sin 5 < 0$, и это верно, поскольку число 5 лежит в четвертой четверти.

б) $\cos(7 — 2x) \cdot \cos 2x — \sin(7 — 2x) \cdot \sin 2x > 0$, что эквивалентно $\cos 7 > 0$, и это верно, поскольку число 7 лежит в первой четверти.