ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\sin (\frac{5\pi }{6}-a)-\frac{1}{2}\cos a$

б) $\sqrt{3}\cos a-2\cos (a-\frac{\pi }{6})$

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a+\cos (a-\frac{5\pi }{3})$

г) $\sqrt{2}\sin (a-\frac{\pi }{4})-\sin a$

а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6} — a\right) — \frac{1}{2}\cos a = \frac{1}{2}\cos a — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \sin a — \frac{1}{2}\cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$.

б) $\sqrt{3}\cos a — 2\cos\left(a — \frac{\pi}{6}\right) = -\sin a$.

Ответ: $-\sin a$.

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \cos\left(a — \frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos a$.

Ответ: $\frac{1}{2}\cos a$.

г) $\sqrt{2}\sin\left(a — \frac{\pi}{4}\right) — \sin a = -\cos a$.

Ответ: $-\cos a$.

Задача а):

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6} — a\right) — \frac{1}{2}\cos a$$

Используем формулу для синуса разности:

$$\sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B$$

где $A = \frac{5\pi}{6}$, а $B = a$. Подставим:

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6} — a\right) = \sin\frac{5\pi}{6} \cdot \cos a — \cos\frac{5\pi}{6} \cdot \sin a$$

Теперь вычислим значения синуса и косинуса для угла $\frac{5\pi}{6}$:

$$\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6} — a\right) = \frac{1}{2}\cos a — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \sin a = \frac{1}{2}\cos a + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$$

Теперь возвращаемся к изначальному выражению:

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6} — a\right) — \frac{1}{2}\cos a = \left(\frac{1}{2}\cos a + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a\right) — \frac{1}{2}\cos a$$

Видим, что $\frac{1}{2}\cos a$ и $-\frac{1}{2}\cos a$ взаимно уничтожаются, оставаясь только:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$.

Задача б):

$$\sqrt{3}\cos a — 2\cos\left(a — \frac{\pi}{6}\right)$$

Используем формулу для косинуса разности:

$$\cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

где $A = a$ и $B = \frac{\pi}{6}$. Подставляем:

$$\cos\left(a — \frac{\pi}{6}\right) = \cos a \cdot \cos\frac{\pi}{6} + \sin a \cdot \sin\frac{\pi}{6}$$

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{6}$:

$$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Подставим эти значения в выражение:

$$\cos\left(a — \frac{\pi}{6}\right) = \cos a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin a \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a + \frac{1}{2}\sin a$$

Теперь возвращаемся к изначальному выражению:

$$\sqrt{3}\cos a — 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a + \frac{1}{2}\sin a\right)$$

Раскроем скобки:

$$\sqrt{3}\cos a — 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a — 2 \cdot \frac{1}{2}\sin a = \sqrt{3}\cos a — \sqrt{3}\cos a — \sin a$$

Видим, что $\sqrt{3}\cos a$ и $-\sqrt{3}\cos a$ взаимно уничтожаются, оставаясь только:

$$-\sin a$$

Ответ: $-\sin a$.

Задача в):

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \cos\left(a — \frac{5\pi}{3}\right)$$

Используем формулу для косинуса разности:

$$\cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

где $A = a$ и $B = \frac{5\pi}{3}$. Подставляем:

$$\cos\left(a — \frac{5\pi}{3}\right) = \cos a \cdot \cos\frac{5\pi}{3} + \sin a \cdot \sin\frac{5\pi}{3}$$

Вычислим значения косинуса и синуса для угла $\frac{5\pi}{3}$:

$$\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin\frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\cos\left(a — \frac{5\pi}{3}\right) = \cos a \cdot \frac{1}{2} + \sin a \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos a — \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$$

Теперь возвращаемся к изначальному выражению:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \left(\frac{1}{2}\cos a — \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a\right)$$

Группируем подобные слагаемые:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a — \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a + \frac{1}{2}\cos a$$

Видим, что $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$ и $-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$ взаимно уничтожаются, оставаясь только:

$$\frac{1}{2}\cos a$$

Ответ: $\frac{1}{2}\cos a$.

Задача г):

$$\sqrt{2}\sin\left(a — \frac{\pi}{4}\right) — \sin a$$

Используем формулу для синуса разности:

$$\sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B$$

где $A = a$ и $B = \frac{\pi}{4}$. Подставляем:

$$\sin\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \sin a \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \cos a \cdot \sin\frac{\pi}{4}$$

Вычислим значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$:

$$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\sin\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \sin a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \cos a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a — \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a$$

Теперь возвращаемся к изначальному выражению:

$$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a — \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a\right) — \sin a$$

Раскроем скобки:

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a — \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a — \sin a = \sin a — \cos a — \sin a$$

Видим, что $\sin a$ и $-\sin a$ взаимно уничтожаются, оставаясь только:

$$-\cos a$$

Ответ: $-\cos a$.