ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 0,6$ и $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6}$, вычислите $\mathrm{sinx.}$

б) Зная, что $\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -0,8$ и $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}$, вычислите $\cos \mathrm{x.}$

а) Известно, что $\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 0,6$ и $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6}$;

Точка $\left(x — \frac{\pi}{6}\right)$ принадлежит второй четверти:

$$\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} < x — \frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{6};$$ $$\frac{\pi}{2} < x — \frac{\pi}{6} < \pi;$$ $$\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{1 — \sin^2\left(x — \frac{\pi}{6}\right)};$$ $$\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{1 — 0,6^2} = -\sqrt{1 — 0,34} = -\sqrt{0,64} = -0,8;$$

Найдем значение $\sin x$:

$$\sin x = \sin\left(\left(x — \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\frac{\pi}{6} + \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) \cdot \sin\frac{\pi}{6};$$ $$\sin x = 0,6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-0,8) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3} — 4}{10};$$

Ответ: $\boxed{\frac{3\sqrt{3} — 4}{10}}$.

б) Известно, что $\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -0,8$ и $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}$;

Точка $\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$ принадлежит третьей четверти:

$$\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} < x + \frac{2\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3};$$ $$\pi < x + \frac{2\pi}{3} < \frac{3\pi}{2};$$ $$\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{1 — \cos^2\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)};$$ $$\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{1 — (-0,8)^2} = -\sqrt{1 — 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6;$$

Найдем значение $\cos x$:

$$\cos x = \cos\left(\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \cdot \cos\frac{2\pi}{3} + \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \cdot \sin\frac{2\pi}{3};$$ $$\cos x = -0,8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + (-0,6) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} — \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 — 3\sqrt{3}}{10};$$

Ответ: $\boxed{\frac{4 — 3\sqrt{3}}{10}}$.

а)

Дано:

$$\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 0,6 \quad \text{и} \quad \frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6}$$

Нужно найти $\sin x$.

1) Определим, в какой четверти находится $x — \frac{\pi}{6}$:

1.1. Мы знаем, что $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6}$, то есть $x$ лежит в интервале от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{7\pi}{6}$. Нам нужно определить, в какой четверти находится $x — \frac{\pi}{6}$. Для этого вычтем $\frac{\pi}{6}$ из границ интервала:

$$\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} < x — \frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{6}$$

1.2. Вычислим каждую границу:

$$\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$ $$\frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi$$

Таким образом, мы получаем:

$$\frac{\pi}{2} < x — \frac{\pi}{6} < \pi$$

1.3. Это означает, что $x — \frac{\pi}{6}$ находится в второй четверти, где косинус отрицателен, а синус положителен.

2) Найдем $\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right)$:

2.1. Используем формулу для косинуса:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{1 — \sin^2\left(x — \frac{\pi}{6}\right)}$$

Так как нам известно, что $\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 0,6$, подставляем это значение:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{1 — 0,6^2} = -\sqrt{1 — 0,36} = -\sqrt{0,64} = -0,8$$

3) Найдем $\sin x$:

3.1. Используем формулу для синуса суммы:

$$\sin\left(a + b\right) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b$$

Здесь $a = x — \frac{\pi}{6}$ и $b = \frac{\pi}{6}$, то есть:

$$\sin x = \sin\left(x — \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) \cdot \sin \frac{\pi}{6}$$

3.2. Подставим значения:

• $\sin\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 0,6$
• $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = -0,8$
• $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Получаем:

$$\sin x = 0,6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-0,8) \cdot \frac{1}{2}$$

3.3. Упростим выражение:

$$\sin x = \frac{0,6 \cdot \sqrt{3}}{2} — \frac{0,8}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{10} — \frac{4}{10} = \frac{3\sqrt{3} — 4}{10}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{3\sqrt{3} — 4}{10}}$$

б)

Дано:

$$\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -0,8 \quad \text{и} \quad \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}$$

Нужно найти $\cos x$.

1) Определим, в какой четверти находится $x + \frac{2\pi}{3}$:

1.1. Мы знаем, что $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6}$, и нам нужно найти, в какой четверти лежит $x + \frac{2\pi}{3}$. Для этого сложим $\frac{2\pi}{3}$ с каждой границей интервала для $x$:

$$\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} < x + \frac{2\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}$$

1.2. Вычислим каждую границу:

$$\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$$ $$\frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$$

Таким образом:

$$\pi < x + \frac{2\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$$

1.3. Это означает, что $x + \frac{2\pi}{3}$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен, а косинус отрицателен.

2) Найдем $\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$:

2.1. Используем формулу для синуса:

$$\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{1 — \cos^2\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)}$$

Так как нам известно, что $\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -0,8$, подставляем это значение:

$$\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{1 — (-0,8)^2} = -\sqrt{1 — 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6$$

3) Найдем $\cos x$:

3.1. Используем формулу для косинуса суммы:

$$\cos\left(a + b\right) = \cos a \cdot \cos b — \sin a \cdot \sin b$$

Здесь $a = x + \frac{2\pi}{3}$ и $b = \frac{2\pi}{3}$, то есть:

$$\cos x = \cos\left(\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \cdot \cos \frac{2\pi}{3} + \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) \cdot \sin \frac{2\pi}{3}$$

3.2. Подставим значения:

• $\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -0,8$
• $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$
• $\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = -0,6$
• $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем:

$$\cos x = -0,8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + (-0,6) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

3.3. Упростим выражение:

$$\cos x = \frac{0,8}{2} — \frac{0,6\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} — \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 — 3\sqrt{3}}{10}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{4 — 3\sqrt{3}}{10}}$$

Итог:

Для задачи а) ответ: $\boxed{\frac{3\sqrt{3} — 4}{10}}$.

Для задачи б) ответ: $\boxed{\frac{4 — 3\sqrt{3}}{10}}$.