ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сравнить числа $a = \cos x \cdot \cos 2x$ и $b = \cos 3x$, если:

а) $0 < x < \frac{\pi}{2}$;

б) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$

Сравнить числа $a = \cos x \cdot \cos 2x$ и $b = \cos 3x$;

а) $0 < x < \frac{\pi}{2}$;

Точка $x$ принадлежит первой четверти:

$$\sin x > 0;$$

Точка $2x$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0 < 2x < \pi;$$ $$\sin 2x > 0;$$

Значение числа $b$ и разность чисел:

$$b = \cos 3x = \cos(x + 2x) = \cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x;$$ $$a — b = \cos x \cdot \cos 2x — \cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = \sin x \cdot \sin 2x > 0;$$

Ответ: $a > b$.

б) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$;

Точка $x$ принадлежит второй четверти:

$$\sin x > 0;$$

Точка $2x$ принадлежит третьей или четвертой четверти:

$$\pi < 2x < 2\pi;$$ $$\sin 2x < 0;$$

Значение числа $b$ и разность чисел:

$$b = \cos 3x = \cos(x + 2x) = \cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x;$$ $$a — b = \cos x \cdot \cos 2x — \cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = \sin x \cdot \sin 2x < 0;$$

Ответ: $a < b$.

Нам нужно сравнить два числа $a = \cos x \cdot \cos 2x$ и $b = \cos 3x$ на разных интервалах для $x$. Рассмотрим два случая: $0 < x < \frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

а) $0 < x < \frac{\pi}{2}$

1) Точка $x$ принадлежит первой четверти:

В интервале $0 < x < \frac{\pi}{2}$ угол $x$ лежит в первой четверти. В первой четверти значения функции синуса и косинуса положительные, то есть:

$$\sin x > 0.$$

2) Точка $2x$ принадлежит первой или второй четверти:

Так как $0 < x < \frac{\pi}{2}$, то удвоив $x$, получим:

$$0 < 2x < \pi.$$

Это означает, что угол $2x$ лежит в интервале от 0 до $\pi$, что включает как первую четверть, так и вторую четверть. Следовательно:

$$\sin 2x > 0.$$

3) Выражение для $b = \cos 3x$ и разность чисел $a — b$:

Теперь сравним числа $a = \cos x \cdot \cos 2x$ и $b = \cos 3x$. Сначала выразим $b$ через известную формулу для косинуса суммы:

$$\cos 3x = \cos(x + 2x) = \cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x.$$

Таким образом, $b$ можно записать как:

$$b = \cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x.$$

Теперь найдём разность $a — b$:

$$a — b = \cos x \cdot \cos 2x — \left( \cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x \right).$$

Упростим это выражение:

$$a — b = \cos x \cdot \cos 2x — \cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = \sin x \cdot \sin 2x.$$

Поскольку $\sin x > 0$ и $\sin 2x > 0$ на интервале $0 < x < \frac{\pi}{2}$, то произведение $\sin x \cdot \sin 2x$ положительно:

$$a — b = \sin x \cdot \sin 2x > 0.$$

Следовательно:

$$a > b.$$

Ответ для $а$:

$$a > b.$$

б) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$

1) Точка $x$ принадлежит второй четверти:

В интервале $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, угол $x$ находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен, то есть:

$$\sin x > 0 \quad \text{и} \quad \cos x < 0.$$

2) Точка $2x$ принадлежит третьей или четвертой четверти:

Если $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, то при удвоении угла $x$ получаем:

$$\pi < 2x < 2\pi.$$

Это означает, что угол $2x$ находится в интервале от $\pi$ до $2\pi$, что включает третью и четвертую четверти, где синус отрицателен, то есть:

$$\sin 2x < 0.$$

3) Выражение для $b = \cos 3x$ и разность чисел $a — b$:

Как и в предыдущем случае, выразим $b = \cos 3x$ через формулу косинуса суммы:

$$\cos 3x = \cos(x + 2x) = \cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x.$$

Тогда:

$$b = \cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x.$$

Теперь находим разность $a — b$:

$$a — b = \cos x \cdot \cos 2x — \left( \cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x \right).$$

Упростим:

$$a — b = \cos x \cdot \cos 2x — \cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = \sin x \cdot \sin 2x.$$

На интервале $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ мы знаем, что $\sin x > 0$, но $\sin 2x < 0$. Поэтому произведение $\sin x \cdot \sin 2x$ будет отрицательным:

$$a — b = \sin x \cdot \sin 2x < 0.$$

Следовательно:

$$a < b.$$

Ответ для $б$:

$$a < b.$$

Итог:

1. Для $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ответ: $a > b$.
2. Для $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ ответ: $a < b$.