ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сравнить числа $a = \sin x \cdot \cos 2x$ и $b = \sin 3x$, если:

а) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$;

б) $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$

Сравнить числа $a = \sin x \cdot \cos 2x$ и $b = \sin 3x$;

а) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$;

Точка $x$ принадлежит второй четверти:

$$\cos x < 0;$$

Точка $2x$ принадлежит третьей или четвертой четверти:

$$\pi < 2x < 2\pi;$$ $$\sin 2x < 0;$$

Значение числа $b$ и разность чисел:

$$b = \sin 3x = \sin(x + 2x) = \sin x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \sin 2x;$$ $$a — b = \sin x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \cos 2x — \cos x \cdot \sin 2x = -\cos x \cdot \sin 2x < 0;$$

Ответ: $a < b$.

б) $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $x$ принадлежит третьей четверти:

$$\cos x < 0;$$

Точка $2x$ принадлежит первой или второй четверти:

$$2\pi < 2x < 3\pi;$$ $$\sin 2x > 0;$$

Значение числа $b$ и разность чисел:

$$b = \sin 3x = \sin(x + 2x) = \sin x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \sin 2x;$$ $$a — b = \sin x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \cos 2x — \cos x \cdot \sin 2x = -\cos x \cdot \sin 2x > 0;$$

Ответ: $a > b$.

а) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$

Задание: Сравнить числа $a = \sin x \cdot \cos 2x$ и $b = \sin 3x$ на интервале $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Шаг 1: Анализ угла $x$ на интервале $\frac{\pi}{2} < x < \pi$

1. $x$ лежит в второй четверти (так как $\frac{\pi}{2} < x < \pi$).
2. В второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен:

   $$\sin x > 0 \quad \text{и} \quad \cos x < 0.$$

Шаг 2: Анализ угла $2x$ на интервале $\frac{\pi}{2} < x < \pi$

1. Умножив на 2, получаем:

   $$\pi < 2x < 2\pi.$$

2. Угол $2x$ лежит в третьей или четвертой четверти (так как $\pi < 2x < 2\pi$).
3. В третьей и четвертой четвертях синус отрицателен:

   $$\sin 2x < 0.$$

Шаг 3: Выражение для $b$ и разность $a — b$

1. Рассмотрим выражение для $b$:

   $$b = \sin 3x.$$

   Используем формулу для синуса суммы:

   $$\sin 3x = \sin(x + 2x) = \sin x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \sin 2x.$$

2. Рассмотрим разность $a — b$:

   $$a = \sin x \cdot \cos 2x,$$ $$b = \sin x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \sin 2x.$$

   Разность:

   $$a — b = \sin x \cdot \cos 2x — \left( \sin x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \sin 2x \right).$$

   Упростим:

   $$a — b = \sin x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \cos 2x — \cos x \cdot \sin 2x = -\cos x \cdot \sin 2x.$$

3. Поскольку $\cos x < 0$ и $\sin 2x < 0$, произведение $-\cos x \cdot \sin 2x$ будет положительным:

   $$a — b = -\cos x \cdot \sin 2x < 0.$$

4. Это означает, что:

   $$a < b.$$

Ответ для $а$:

$$a < b.$$

б) $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$

Задание: Сравнить числа $a = \sin x \cdot \cos 2x$ и $b = \sin 3x$ на интервале $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Шаг 1: Анализ угла $x$ на интервале $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$

1. $x$ лежит в третьей четверти (так как $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$).
2. В третьей четверти синус отрицателен, а косинус отрицателен:

   $$\sin x < 0 \quad \text{и} \quad \cos x < 0.$$

Шаг 2: Анализ угла $2x$ на интервале $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$

1. Умножив на 2, получаем:

   $$2\pi < 2x < 3\pi.$$

2. Угол $2x$ лежит в первой или второй четверти (так как $2\pi < 2x < 3\pi$).
3. В первой и второй четвертях синус положителен:

   $$\sin 2x > 0.$$

Шаг 3: Выражение для $b$ и разность $a — b$

1. Рассмотрим выражение для $b$:

   $$b = \sin 3x.$$

   Используем формулу для синуса суммы:

   $$\sin 3x = \sin(x + 2x) = \sin x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \sin 2x.$$

2. Рассмотрим разность $a — b$:

   $$a = \sin x \cdot \cos 2x,$$ $$b = \sin x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \sin 2x.$$

   Разность:

   $$a — b = \sin x \cdot \cos 2x — \left( \sin x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \sin 2x \right).$$

   Упростим:

   $$a — b = \sin x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \cos 2x — \cos x \cdot \sin 2x = -\cos x \cdot \sin 2x.$$

3. Поскольку $\cos x < 0$ и $\sin 2x > 0$, произведение $-\cos x \cdot \sin 2x$ будет отрицательным:

   $$a — b = -\cos x \cdot \sin 2x > 0.$$

4. Это означает, что:

   $$a > b.$$

Ответ для $б$:

$$a > b.$$

Итог:

1. Для интервала $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ ответ: $a < b$.
2. Для интервала $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ ответ: $a > b$.