ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сравнить числа $a$ и $b$, если:

а) $a = \frac{\sin 3}{\sin 4}$, $b = \frac{\cos 3}{\cos 4}$;

б) $a = \frac{\sin 4}{\cos 5}$, $b = \frac{\cos 4}{\sin 5}$

Сравнить числа $a$ и $b$, если:

а) $a = \frac{\sin 3}{\sin 4}$, $b = \frac{\cos 3}{\cos 4}$;

Точка 1 принадлежит первой четверти:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$ $$\sin 1 > 0;$$

Точка 4 принадлежит третьей четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$ $$\sin 4 < 0;$$ $$\cos 4 < 0;$$

Разность чисел:

$$a — b = \frac{\sin 3}{\sin 4} — \frac{\cos 3}{\cos 4} = \frac{\sin 3 \cdot \cos 4 — \cos 3 \cdot \sin 4}{\sin 4 \cdot \cos 4} = \frac{\sin (3 — 4)}{\sin 4 \cdot \cos 4};$$ $$a — b = -\frac{\sin 1}{\sin 4 \cdot \cos 4} < 0;$$

Ответ: $a < b$.

б) $a = \frac{\sin 4}{\cos 5}$, $b = \frac{\cos 4}{\sin 5}$;

Точка 9 принадлежит второй четверти:

$$\frac{5\pi}{2} < 9 < 3\pi;$$ $$\cos 9 < 0;$$

Точка 5 принадлежит четвертой четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$ $$\sin 5 < 0;$$ $$\cos 5 > 0;$$

Разность чисел:

$$a — b = \frac{\sin 4}{\cos 5} — \frac{\cos 4}{\sin 5} = \frac{\sin 4 \cdot \sin 5 — \cos 4 \cdot \cos 5}{\sin 5 \cdot \cos 5} = \frac{-\cos (5 + 4)}{\sin 5 \cdot \cos 5};$$ $$a — b = -\frac{\cos 9}{\sin 5 \cdot \cos 5} < 0;$$

Ответ: $a < b$.

Часть а)

Даны следующие числа:

$$a = \frac{\sin 3}{\sin 4}, \quad b = \frac{\cos 3}{\cos 4}.$$

Нужно сравнить $a$ и $b$. Для этого мы будем использовать разность чисел $a — b$.

Шаг 1: Описание точек 3 и 4 на единичной окружности.

1. Точка 3 принадлежит первой четверти (это область, где угол от 0 до $\frac{\pi}{2}$), то есть $0 < 3 < \frac{\pi}{2}$. В этом диапазоне:

   $$\sin 3 > 0, \quad \cos 3 > 0.$$

2. Точка 4 принадлежит третей четверти (это область, где угол от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$), то есть $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$. В этом диапазоне:

   $$\sin 4 < 0, \quad \cos 4 < 0.$$

Шаг 2: Разность чисел $a — b$.

Найдем разность чисел $a$ и $b$:

$$a — b = \frac{\sin 3}{\sin 4} — \frac{\cos 3}{\cos 4}.$$

Для упрощения, приведение к общему знаменателю:

$$a — b = \frac{\sin 3 \cdot \cos 4 — \cos 3 \cdot \sin 4}{\sin 4 \cdot \cos 4}.$$

Используя формулу синуса разности $\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$, получаем:

$$a — b = \frac{\sin(3 — 4)}{\sin 4 \cdot \cos 4} = \frac{\sin(-1)}{\sin 4 \cdot \cos 4}.$$

Так как $\sin(-1) = -\sin(1)$, то:

$$a — b = -\frac{\sin 1}{\sin 4 \cdot \cos 4}.$$

Так как $\sin 1$, $\sin 4$ и $\cos 4$ все положительные, разность $a — b$ будет отрицательной:

$$a — b < 0.$$

Ответ для части а):

Поскольку разность $a — b$ отрицательная, то:

$$a < b.$$

Часть б)

Даны следующие числа:

$$a = \frac{\sin 4}{\cos 5}, \quad b = \frac{\cos 4}{\sin 5}.$$

Нужно сравнить $a$ и $b$. Для этого также найдем разность $a — b$.

Шаг 1: Описание точек 4 и 5 на единичной окружности.

1. Точка 4 принадлежит второй четверти (это область, где угол от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$), то есть $\frac{\pi}{2} < 4 < \pi$. В этом диапазоне:

   $$\sin 4 > 0, \quad \cos 4 < 0.$$

2. Точка 5 принадлежит четвертой четверти (это область, где угол от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$), то есть $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. В этом диапазоне:

   $$\sin 5 < 0, \quad \cos 5 > 0.$$

Шаг 2: Разность чисел $a — b$.

Найдем разность чисел $a$ и $b$:

$$a — b = \frac{\sin 4}{\cos 5} — \frac{\cos 4}{\sin 5}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$a — b = \frac{\sin 4 \cdot \sin 5 — \cos 4 \cdot \cos 5}{\sin 5 \cdot \cos 5}.$$

Используем формулу косинуса разности $\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$, получаем:

$$a — b = \frac{-\cos(5 + 4)}{\sin 5 \cdot \cos 5} = \frac{-\cos 9}{\sin 5 \cdot \cos 5}.$$

Так как $\cos 9$ отрицательно (так как угол 9 находится в третьей четверти), разность $a — b$ будет отрицательной:

$$a — b < 0.$$

Ответ для части б):

Поскольку разность $a — b$ отрицательная, то:

$$a < b.$$

Итоговый ответ:

• Для части (а) $a < b$.
• Для части (б) $a < b$.