ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $\cos(x + y) = a$, $\cos(x — y) = b$, найдите tgx · tgy.

б) Зная, что $\sin(x + y) = a$, $\sin(x — y) = b$, найдите tgx/tgy.

а) Известно, что $\cos(x + y) = a$ и $\cos(x — y) = b$;

Значения чисел:

$$\cos(x — y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y = b;$$ $$\cos x \cdot \cos y = b — \sin x \cdot \sin y;$$ $$\cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y = a;$$ $$(b — \sin x \cdot \sin y) — \sin x \cdot \sin y = a;$$ $$2 \sin x \cdot \sin y = b — a;$$ $$\sin x \cdot \sin y = \frac{b — a}{2};$$ $$\cos x \cdot \cos y = b — \frac{b — a}{2} = \frac{2b — b + a}{2} = \frac{b + a}{2};$$

Значение искомой функции:

$$\tg x \cdot \tg y = \frac{\sin x \cdot \sin y}{\cos x \cdot \cos y} = \frac{b — a}{2} : \frac{b + a}{2} = \frac{b — a}{b + a};$$

Ответ: $\frac{b — a}{b + a}$.

б) Известно, что $\sin(x + y) = a$ и $\sin(x — y) = b$;

Значения чисел:

$$\sin(x — y) = \sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y = b;$$ $$\sin x \cdot \cos y = b + \cos x \cdot \sin y;$$ $$\sin(x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y = a;$$ $$(b + \cos x \cdot \sin y) + \cos x \cdot \sin y = a;$$ $$2 \cos x \cdot \sin y = a — b;$$ $$\cos x \cdot \sin y = \frac{a — b}{2};$$ $$\sin x \cdot \cos y = b + \frac{a — b}{2} = \frac{2b + a — b}{2} = \frac{a + b}{2};$$

Значение искомой функции:

$$\frac{\tg x}{\tg y} = \frac{\sin x}{\cos x} : \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cdot \cos y}{\cos x \cdot \sin y} = \frac{\frac{a + b}{2}}{\frac{a — b}{2}} = \frac{a + b}{a — b};$$

Ответ: $\frac{a + b}{a — b}$.

а) Известно, что $\cos(x + y) = a$ и $\cos(x — y) = b$.

1. Операции с тригонометрическими функциями

Сначала запишем стандартные формулы для косинусов суммы и разности углов:

• Косинус суммы:

  $$\cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y$$

• Косинус разности:

  $$\cos(x — y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y$$

Исходя из условия задачи, нам известно, что:

$$\cos(x + y) = a \quad \text{и} \quad \cos(x — y) = b$$

Это позволяет записать систему уравнений:

$$\cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y = a \quad (1)$$ $$\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y = b \quad (2)$$

2. Преобразование уравнений

Теперь сложим уравнения (1) и (2), чтобы избавиться от $\sin x \cdot \sin y$:

$$(\cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y) + (\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y) = a + b$$ $$2 \cos x \cdot \cos y = a + b$$ $$\cos x \cdot \cos y = \frac{a + b}{2} \quad (3)$$

Теперь вычитаем уравнение (2) из уравнения (1):

$$(\cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y) — (\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y) = a — b$$ $$-2 \sin x \cdot \sin y = a — b$$ $$\sin x \cdot \sin y = \frac{b — a}{2} \quad (4)$$

3. Вычисление значения искомой функции

Нам нужно найти значение произведения тангенсов углов $x$ и $y$. Напоминаем, что тангенс — это отношение синуса к косинусу, то есть:

$$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \tg y = \frac{\sin y}{\cos y}$$

Теперь ищем произведение тангенсов:

$$\tg x \cdot \tg y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cdot \sin y}{\cos x \cdot \cos y}$$

Подставляем значения из уравнений (4) и (3):

$$\tg x \cdot \tg y = \frac{\frac{b — a}{2}}{\frac{a + b}{2}} = \frac{b — a}{a + b}$$

Ответ:

$$\tg x \cdot \tg y = \frac{b — a}{a + b}$$

б) Известно, что $\sin(x + y) = a$ и $\sin(x — y) = b$.

1. Операции с тригонометрическими функциями

Теперь рассмотрим формулы для синусов суммы и разности углов:

• Синус суммы:

  $$\sin(x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$$

• Синус разности:

  $$\sin(x — y) = \sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y$$

Из условия задачи мы знаем, что:

$$\sin(x + y) = a \quad \text{и} \quad \sin(x — y) = b$$

Это дает систему уравнений:

$$\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y = a \quad (5)$$ $$\sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y = b \quad (6)$$

2. Преобразование уравнений

Теперь сложим уравнения (5) и (6), чтобы избавиться от $\cos x \cdot \sin y$:

$$(\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y) + (\sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y) = a + b$$ $$2 \sin x \cdot \cos y = a + b$$ $$\sin x \cdot \cos y = \frac{a + b}{2} \quad (7)$$

Теперь вычитаем уравнение (6) из уравнения (5):

$$(\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y) — (\sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y) = a — b$$ $$2 \cos x \cdot \sin y = a — b$$ $$\cos x \cdot \sin y = \frac{a — b}{2} \quad (8)$$

3. Вычисление значения искомой функции

Нам нужно найти значение отношения тангенсов углов $x$ и $y$. Напоминаем, что тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \tg y = \frac{\sin y}{\cos y}$$

Искомое отношение будет:

$$\frac{\tg x}{\tg y} = \frac{\sin x / \cos x}{\sin y / \cos y} = \frac{\sin x \cdot \cos y}{\cos x \cdot \sin y}$$

Подставляем значения из уравнений (7) и (8):

$$\frac{\tg x}{\tg y} = \frac{\frac{a + b}{2}}{\frac{a — b}{2}} = \frac{a + b}{a — b}$$

Ответ:

$$\frac{\tg x}{\tg y} = \frac{a + b}{a — b}$$

Итоговое решение:

• Ответ для части (а): $\frac{b — a}{a + b}$
• Ответ для части (б): $\frac{a + b}{a — b}$