ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что не существует пары $(x; y)$ такой, что:

а) $\sin x \cos y = 0,7$; $\cos x \sin y = 0,4$;

б) $\cos x \cos y = \frac{\sqrt{6}}{3}$; $\sin x \sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Доказать, что не существует такой пары чисел $x$ и $y$:

а) $\sin x \cdot \cos y = 0,7$ и $\cos x \cdot \sin y = 0,4$;

$$\sin(x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y = 0,7 + 0,4 = 1,1;$$ $$\sin(x + y) > 1;$$

Что и требовалось доказать.

б) $\cos x \cdot \cos y = \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $\sin x \cdot \sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$\cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y = \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6};$$ $$6 > 4 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{6} > 2 \quad \Rightarrow \quad 2\sqrt{6} > 4;$$ $$2 > 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2} > 1 \quad \Rightarrow \quad 3\sqrt{2} > 3;$$ $$2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} > 4 + 3;$$ $$\frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6} > \frac{7}{6};$$ $$\cos(x + y) > 1;$$

Что и требовалось доказать.

Необходимо доказать, что не существует такой пары чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют следующим уравнениям:

а) $\sin x \cdot \cos y = 0,7$ и $\cos x \cdot \sin y = 0,4$;

б) $\cos x \cdot \cos y = \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $\sin x \cdot \sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение задачи:

а) Доказательство для первого случая

У нас есть два уравнения:

$$\sin x \cdot \cos y = 0,7$$

и

$$\cos x \cdot \sin y = 0,4$$

Нам нужно доказать, что такой пары $x$ и $y$ не существует.

Используем формулу синуса суммы:

Для синуса суммы углов $x + y$ существует следующая известная тригонометрическая формула:

$$\sin(x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$$

Подставляем в неё данные из условия задачи:

$$\sin(x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y = 0,7 + 0,4 = 1,1$$

Проверка, что $\sin(x + y)$ не может быть больше 1:

Мы знаем, что для любого угла $\theta$:

$$-1 \leq \sin \theta \leq 1$$

Это означает, что значение синуса не может быть больше 1. Однако из предыдущего шага мы получаем:

$$\sin(x + y) = 1,1$$

Что противоречит основному свойству функции синуса. Следовательно, не существует таких углов $x$ и $y$, для которых выполняются оба условия.

Таким образом, доказано, что не существует такой пары чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют данным уравнениям.

б) Доказательство для второго случая

У нас есть два уравнения:

$$\cos x \cdot \cos y = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

и

$$\sin x \cdot \sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Нам нужно доказать, что такой пары $x$ и $y$ тоже не существует.

Используем формулу косинуса суммы:

Для косинуса суммы углов $x + y$ существует следующая тригонометрическая формула:

$$\cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y$$

Подставляем в неё данные из условия задачи:

$$\cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y = \frac{\sqrt{6}}{3} — \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Приводим к общему знаменателю:

Для того чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 2 — это 6:

$$\frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{6} + \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6}$$

Итак, мы получаем:

$$\cos(x + y) = \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6}$$

Оценка выражения $2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}$:

Теперь нужно доказать, что это выражение больше 1. Для этого оценим численно каждый из корней:

• $\sqrt{6} \approx 2,449$
• $\sqrt{2} \approx 1,414$

Подставляем эти значения в выражение:

$$2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} \approx 2 \times 2,449 + 3 \times 1,414 = 4,898 + 4,242 = 9,14$$

Теперь вычислим, чему равен $\frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6}$:

$$\frac{9,14}{6} \approx 1,523$$

Таким образом, мы получаем, что:

$$\cos(x + y) \approx 1,523$$

Проверка, что $\cos(x + y)$ не может быть больше 1:

Мы знаем, что для любого угла $\theta$:

$$-1 \leq \cos \theta \leq 1$$

Значение косинуса не может быть больше 1. Однако из предыдущих вычислений мы получили:

$$\cos(x + y) \approx 1,523$$

Что опять же противоречит основному свойству функции косинуса.

Таким образом, не существует таких углов $x$ и $y$, для которых выполняются оба условия.

Заключение:

Доказано, что в обоих случаях не существует таких углов $x$ и $y$, которые удовлетворяют данным уравнениям:

• Для первой пары уравнений, синус суммы превышает 1.
• Для второй пары уравнений, косинус суммы превышает 1.

Таким образом, задача решена, и такие значения для $x$ и $y$ не могут существовать.