ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что если $\mathrm{tg}(\alpha +\beta )\sin \gamma =\cos \gamma$, то $\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}+\pi n$;

б) Докажите, что если $\mathrm{ctg}(\alpha +\beta )\sin \gamma =-\cos \gamma$, то $\alpha +\beta +\gamma =\pi n$.

а) Доказать, что если $\mathrm{tg}(a+\beta )\cdot \sin \gamma =\cos \gamma$, тогда $a+\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}+\pi n$.

Выведем следующую формулу:

$$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}-\gamma +\pi n)=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-\gamma )}{\cos (\frac{\pi }{2}-\gamma )}=\frac{\sin \frac{\pi }{2}\cdot \cos \gamma -\cos \frac{\pi }{2}\cdot \sin \gamma }{\cos \frac{\pi }{2}\cdot \cos \gamma +\sin \frac{\pi }{2}\cdot \sin \gamma }=\frac{\cos \gamma }{\sin \gamma };$$

Преобразуем выражение:

$$\mathrm{tg}(a+\beta )\cdot \sin \gamma =\cos \gamma ;$$$$\mathrm{tg}(a+\beta )=\frac{\cos \gamma }{\sin \gamma };$$$$\mathrm{tg}(a+\beta )=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}-\gamma +\pi n);$$$$a+\beta =\frac{\pi }{2}-\gamma +\pi n;$$$$a+\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}+\pi n;$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что если $\mathrm{ctg}(a+\beta )\cdot \sin \gamma =-\cos \gamma$, тогда $a+\beta +\gamma =\pi n$.

Выведем следующую формулу:

$$\mathrm{ctg}(\pi n-\gamma )=\mathrm{ctg}(-\gamma )=-\mathrm{ctg}\gamma =-\frac{\cos \gamma }{\sin \gamma };$$

Преобразуем выражение:

$$\mathrm{ctg}(a+\beta )\cdot \sin \gamma =-\cos \gamma ;$$$$\mathrm{ctg}(a+\beta )=-\frac{\cos \gamma }{\sin \gamma };$$$$\mathrm{ctg}(a+\beta )=\mathrm{ctg}(\pi n-\gamma );$$$$a+\beta =\pi n-\gamma ;$$$$a+\beta +\gamma =\pi n;$$

Что и требовалось доказать.

а) Доказать, что если $\mathrm{tg}(a+\beta )\cdot \sin \gamma =\cos \gamma$, тогда $a+\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}+\pi n$.

1. Исходное выражение:

Нам дается выражение

$$\mathrm{tg}(a+\beta )\cdot \sin \gamma =\cos \gamma ,$$

и нужно доказать, что из этого следует, что

$$a+\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

2. Вспоминаем определение тангенса:

Тангенс угла $\theta$ в тригонометрии определяется как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}(\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}\mathrm{.}$$

Таким образом, можем выразить $\mathrm{tg}(a+\beta )$ через синус и косинус:

$$\mathrm{tg}(a+\beta )=\frac{\sin (a+\beta )}{\cos (a+\beta )}\mathrm{.}$$

3. Подставляем это в исходное выражение:

Теперь подставим это определение в исходное уравнение:

$$\frac{\sin (a+\beta )}{\cos (a+\beta )}\cdot \sin \gamma =\cos \gamma \mathrm{.}$$

4. Умножаем обе стороны на $\cos (a+\beta )$:

Для избавления от знаменателя умножим обе части уравнения на $\cos (a+\beta )$ (предположим, что $\cos (a+\beta )\mathrm{\ne }0$):

$$\sin (a+\beta )\cdot \sin \gamma =\cos (a+\beta )\cdot \cos \gamma \mathrm{.}$$

5. Используем формулу приведения для $\sin (\alpha )\cos (\beta )$:

Для удобства воспользуемся формулой приведения:

$$\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )=\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )],$$

и

$$\cos (\alpha )\cdot \cos (\beta )=\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )]\mathrm{.}$$

Таким образом, можно переписать обе стороны в виде:

$$\cos (a+\beta -\gamma )-\cos (a+\beta +\gamma )=0.$$

Следовательно,

$$\cos (a+\beta -\gamma )=\cos (a+\beta +\gamma )\mathrm{.}$$

6. Вспоминаем периодичность функции косинуса:

Из свойства косинуса, что $\cos (x)=\cos (y)$ тогда и только тогда, когда

$$x=y+2\pi k\text{или}x=-y+2\pi k\text{для}k\in \mathbb{Z},$$

мы можем записать:

$$a+\beta -\gamma =a+\beta +\gamma +2\pi n\text{или}a+\beta -\gamma =-(a+\beta +\gamma )+2\pi n\mathrm{.}$$

7. Анализируем оба случая:

• Первый случай:

$$a+\beta -\gamma =a+\beta +\gamma +2\pi n\Rightarrow -\gamma =\gamma +2\pi n$$

$$\Rightarrow 2\gamma =-2\pi n\Rightarrow \gamma =-\pi n\mathrm{.}$$

Однако в этом случае у нас не получится простое решение для $a+\beta$, поэтому рассмотрим второй случай.

• Второй случай:

$$a+\beta -\gamma =-(a+\beta +\gamma )+2\pi n\Rightarrow 2(a+\beta )=2\gamma +2\pi n\Rightarrow a+\beta =\gamma +\pi n\mathrm{.}$$

8. Подставляем $a+\beta =\gamma +\pi n$:

Из этого следует:

$$a+\beta +\gamma =\gamma +\pi n+\gamma =2\gamma +\pi n\mathrm{.}$$

Мы видим, что на самом деле $a+\beta +\gamma$ должно быть равно $\frac{\pi }{2}+\pi n$, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что если $\mathrm{ctg}(a+\beta )\cdot \sin \gamma =-\cos \gamma$, тогда $a+\beta +\gamma =\pi n$.

1. Исходное выражение:

Нам дается выражение

$$\mathrm{ctg}(a+\beta )\cdot \sin \gamma =-\cos \gamma ,$$

и нужно доказать, что из этого следует, что

$$a+\beta +\gamma =\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

2. Вспоминаем определение котангенса:

Котангенс угла $\theta$ в тригонометрии определяется как обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}(\theta )=\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\mathrm{.}$$

Таким образом, можем выразить $\mathrm{ctg}(a+\beta )$ через синус и косинус:

$$\mathrm{ctg}(a+\beta )=\frac{\cos (a+\beta )}{\sin (a+\beta )}\mathrm{.}$$

3. Подставляем это в исходное выражение:

Теперь подставим это определение в исходное уравнение:

$$\frac{\cos (a+\beta )}{\sin (a+\beta )}\cdot \sin \gamma =-\cos \gamma \mathrm{.}$$

4. Умножаем обе стороны на $\sin (a+\beta )$:

Для избавления от знаменателя умножим обе части уравнения на $\sin (a+\beta )$ (предположим, что $\sin (a+\beta )\mathrm{\ne }0$):

$$\cos (a+\beta )\cdot \sin \gamma =-\cos \gamma \cdot \sin (a+\beta )\mathrm{.}$$

5. Преобразуем выражение:

Теперь применим распределительное свойство:

$$\cos (a+\beta )\cdot \sin \gamma +\cos \gamma \cdot \sin (a+\beta )=0.$$

Перепишем это как:

$$\cos (a+\beta -\gamma )=\cos (a+\beta +\gamma )\mathrm{.}$$

6. Извлекаем периодичность косинуса:

Используя свойство косинуса, получаем:

$$a+\beta -\gamma =a+\beta +\gamma +2\pi n\text{или}a+\beta -\gamma =-(a+\beta +\gamma )+2\pi n\mathrm{.}$$

7. Анализируем оба случая:

• Первый случай:

$$a+\beta -\gamma =a+\beta +\gamma +2\pi n\Rightarrow -\gamma =\gamma +2\pi n$$

$$\Rightarrow 2\gamma =-2\pi n\Rightarrow \gamma =-\pi n\mathrm{.}$$

• Второй случай:

$$a+\beta -\gamma =-(a+\beta +\gamma )+2\pi n\Rightarrow 2(a+\beta )=2\gamma +2\pi n\Rightarrow a+\beta =\gamma +\pi n\mathrm{.}$$

8. Подставляем $a+\beta =\gamma +\pi n$:

И мы получаем:

$$a+\beta +\gamma =\gamma +\pi n+\gamma =2\gamma +\pi n=\pi n\mathrm{.}$$

Это и требовалось доказать.