ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (\frac{\pi }{3}+\arccos \frac{3}{5})$

б) $\cos (\frac{\pi }{6}+\arccos (-\frac{3}{5}))$

в) $\sin (\frac{\pi }{4}-\arcsin \frac{3}{5})$

г) $\cos (\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{5}{13})$

а) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \arccos \frac{3}{5}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} + t\right)$;

Точка $t$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0 \leq \arccos \frac{3}{5} \leq \pi;$$ $$\cos t = \cos\left(\arccos \frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5};$$ $$\sin t = +\sqrt{1 — \cos^2 t} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Значение функции:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3} + t\right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos t + \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{3} + 4}{10};$$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3} + 4}{10}$.

б) $\cos\left(\frac{\pi}{6} + \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right)$;

Точка $t$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0 \leq \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) \leq \pi;$$ $$\cos t = \cos\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = -\frac{3}{5};$$ $$\sin(t) = +\sqrt{1 — \cos^2 t} = \sqrt{1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Значение функции:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos t — \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) — \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3\sqrt{3} + 4}{10};$$

Ответ: $-\frac{3\sqrt{3} + 4}{10}$.

в) $\sin\left(\frac{\pi}{4} — \arcsin \frac{3}{5}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} — t\right)$;

Точка $t$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin \frac{3}{5} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin t = \sin\left(\arcsin \frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5};$$ $$\cos t = +\sqrt{1 — \sin^2 t} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Значение функции:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{5} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{\sqrt{2}}{10};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$.

г) $\cos\left(\frac{\pi}{2} — \arcsin \frac{5}{13}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right)$;

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos t + \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin t = 0 \cdot \cos t + 1 \cdot \sin t = \sin t;$$ $$\sin t = \sin\left(\arcsin \frac{5}{13}\right) = \frac{5}{13};$$

Ответ: $\frac{5}{13}$.

а) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \arccos \frac{3}{5}\right)$

Нам нужно вычислить значение выражения $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \arccos \frac{3}{5}\right)$. Для этого используем формулу суммы углов для синуса:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B.$$

Заменим $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \arccos \frac{3}{5}$. Тогда:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \arccos \frac{3}{5}\right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \left(\arccos \frac{3}{5}\right) + \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin \left(\arccos \frac{3}{5}\right).$$

Шаг 1. Определим значения $\sin \frac{\pi}{3}$ и $\cos \frac{\pi}{3}$:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 2. Вычислим значения $\cos\left(\arccos \frac{3}{5}\right)$ и $\sin\left(\arccos \frac{3}{5}\right)$:

$\cos \left(\arccos \frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5}$ по определению функции арккосинуса.

Для нахождения $\sin\left(\arccos \frac{3}{5}\right)$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставляем значение $\cos t = \frac{3}{5}$:

$$\sin^2 t = 1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25},$$ $$\sin t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Таким образом, $\sin \left(\arccos \frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$.

Шаг 3. Подставляем все значения в формулу суммы углов:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \arccos \frac{3}{5}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}.$$

Выполняем умножение:

$$= \frac{3\sqrt{3}}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3\sqrt{3} + 4}{10}.$$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3} + 4}{10}$.

б) $\cos\left(\frac{\pi}{6} + \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$

Нам нужно вычислить значение выражения $\cos\left(\frac{\pi}{6} + \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$. Для этого используем формулу суммы углов для косинуса:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B.$$

Заменим $A = \frac{\pi}{6}$ и $B = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)$. Тогда:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) — \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin \left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right).$$

Шаг 1. Определим значения $\cos \frac{\pi}{6}$ и $\sin \frac{\pi}{6}$:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 2. Вычислим значения $\cos\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$ и $\sin\left(\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$:

$\cos \left(\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)\right) = -\frac{3}{5}$ по определению функции арккосинуса.

Для нахождения $\sin\left(\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)\right)$ используем ту же тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставляем значение $\cos t = -\frac{3}{5}$:

$$\sin^2 t = 1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25},$$ $$\sin t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Таким образом, $\sin \left(\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \frac{4}{5}$.

Шаг 3. Подставляем все значения в формулу суммы углов для косинуса:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) — \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}.$$

Выполняем умножение:

$$= -\frac{3\sqrt{3}}{10} — \frac{4}{10} = -\frac{3\sqrt{3} + 4}{10}.$$

Ответ: $-\frac{3\sqrt{3} + 4}{10}$.

в) $\sin\left(\frac{\pi}{4} — \arcsin \frac{3}{5}\right)$

Нам нужно вычислить значение выражения $\sin\left(\frac{\pi}{4} — \arcsin \frac{3}{5}\right)$. Для этого используем формулу разности углов для синуса:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B.$$

Заменим $A = \frac{\pi}{4}$ и $B = \arcsin \frac{3}{5}$. Тогда:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — \arcsin \frac{3}{5}\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \left(\arcsin \frac{3}{5}\right) — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin \left(\arcsin \frac{3}{5}\right).$$

Шаг 1. Определим значения $\sin \frac{\pi}{4}$ и $\cos \frac{\pi}{4}$:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 2. Вычислим значения $\sin\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$ и $\cos\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$:

$\sin \left(\arcsin \frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5}$ по определению функции арксинуса.

Для нахождения $\cos\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставляем значение $\sin t = \frac{3}{5}$:

$$\cos^2 t = 1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25},$$ $$\cos t = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Таким образом, $\cos \left(\arcsin \frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$.

Шаг 3. Подставляем все значения в формулу разности углов для синуса:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — \arcsin \frac{3}{5}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{5} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5}.$$

Выполняем умножение:

$$= \frac{\sqrt{2}}{10} — \frac{3\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{10}.$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$.

г) $\cos\left(\frac{\pi}{2} — \arcsin \frac{5}{13}\right)$

Нам нужно вычислить значение выражения $\cos\left(\frac{\pi}{2} — \arcsin \frac{5}{13}\right)$. Для этого используем формулу для косинуса разности углов:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos t + \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin t.$$

Шаг 1. Определим значения $\cos \frac{\pi}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{2}$:

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

Шаг 2. Вычислим $\sin t$, где $t = \arcsin \frac{5}{13}$:

$\sin \left(\arcsin \frac{5}{13}\right) = \frac{5}{13}$ по определению функции арксинуса.

Шаг 3. Подставляем все значения в формулу:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = 0 \cdot \cos t + 1 \cdot \sin t = \sin t = \frac{5}{13}.$$

Ответ: $\frac{5}{13}$.