ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (\arccos (-\frac{4}{5})+\arcsin \frac{1}{3})$

б) $\cos (\mathrm{arctg}\frac{3}{4}+\arcsin (-\frac{3}{5}))$

а) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right) + \arcsin\frac{1}{3}\right) = \sin(a + b)$;

Точка $a$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0 \leq \arccos\left(-\frac{4}{5}\right) \leq \pi;$$ $$\cos a = \cos\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right)\right) = -\frac{4}{5};$$ $$\sin a = +\sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$

Точка $b$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin\frac{1}{3} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin b = \sin\left(\arcsin\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3};$$ $$\cos b = +\sqrt{1 — \sin^2 b} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{9} — \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3};$$

Значение функции:

$$\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b;$$ $$\sin(a + b) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} — \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6\sqrt{2} — 4}{15};$$

Ответ: $\boxed{\frac{6\sqrt{2} — 4}{15}}$.

б) $\cos\left(\arctg\frac{3}{4} + \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \cos(a + b)$;

Точка $a$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arctg\frac{3}{4} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\tg a = \tg\left(\arctg\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4};$$ $$\cos a = +\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\sin a = \tg a \cdot \cos a = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5};$$

Точка $b$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right) \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin b = \sin\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = -\frac{3}{5};$$ $$\cos b = +\sqrt{1 — \sin^2 b} = \sqrt{1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Значение функции:

$$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b — \sin a \cdot \sin b;$$ $$\cos(a + b) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} — \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1;$$

Ответ: $\boxed{1}$.

а) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right) + \arcsin\frac{1}{3}\right)$

Нам нужно найти значение выражения $\sin\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right) + \arcsin\frac{1}{3}\right)$.

Для этого воспользуемся формулой суммы углов для синуса:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B.$$

В данном случае $A = \arccos\left(-\frac{4}{5}\right)$ и $B = \arcsin\frac{1}{3}$.

Шаг 1. Найдем значения для $\sin A$, $\cos A$, $\sin B$, $\cos B$:

1) Точка $a = \arccos\left(-\frac{4}{5}\right)$

1.1) $A = \arccos\left(-\frac{4}{5}\right)$ означает, что $\cos A = -\frac{4}{5}$.

1.2) Для нахождения $\sin A$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1.$$

Подставляем значение $\cos A = -\frac{4}{5}$:

$$\sin^2 A = 1 — \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}.$$

Отсюда:

$$\sin A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.$$

Знак $\sin A$ положительный, так как точка $a$ находится в первой или второй четверти.

2) Точка $b = \arcsin\frac{1}{3}$

2.1) $B = \arcsin\frac{1}{3}$ означает, что $\sin B = \frac{1}{3}$.

2.2) Для нахождения $\cos B$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 B + \cos^2 B = 1.$$

Подставляем значение $\sin B = \frac{1}{3}$:

$$\cos^2 B = 1 — \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 — \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.$$

Отсюда:

$$\cos B = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Знак $\cos B$ положительный, так как точка $b$ находится в первой или четвертой четверти.

Шаг 2. Подставим все значения в формулу суммы углов для синуса:

Теперь, когда мы знаем все значения, подставим их в формулу для суммы углов:

$$\sin(a + b) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B.$$

Подставляем найденные значения:

$$\sin(a + b) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{1}{3}.$$

Выполняем умножение:

$$\sin(a + b) = \frac{6\sqrt{2}}{15} — \frac{4}{15}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\sin(a + b) = \frac{6\sqrt{2} — 4}{15}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{6\sqrt{2} — 4}{15}}$.

б) $\cos\left(\arctg\frac{3}{4} + \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$

Нам нужно найти значение выражения $\cos\left(\arctg\frac{3}{4} + \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$.

Для этого воспользуемся формулой суммы углов для косинуса:

$$\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B.$$

В данном случае $A = \arctg\frac{3}{4}$ и $B = \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)$.

Шаг 1. Найдем значения для $\sin A$, $\cos A$, $\sin B$, $\cos B$:

1) Точка $a = \arctg\frac{3}{4}$

1.1) $A = \arctg\frac{3}{4}$ означает, что $\tg A = \frac{3}{4}$.

1.2) Для нахождения $\cos A$ и $\sin A$ используем следующие соотношения:

$$\cos^2 A + \sin^2 A = 1, \quad \tg A = \frac{\sin A}{\cos A}.$$

Зная, что $\tg A = \frac{3}{4}$, составляем прямоугольный треугольник, где противолежащий катет равен 3, прилежащий катет равен 4, а гипотенуза будет:

$$\text{гипотенуза} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$$

Теперь можем найти $\cos A$ и $\sin A$:

$$\cos A = \frac{4}{5}, \quad \sin A = \frac{3}{5}.$$

2) Точка $b = \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)$

2.1) $B = \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)$ означает, что $\sin B = -\frac{3}{5}$.

2.2) Для нахождения $\cos B$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 B + \cos^2 B = 1.$$

Подставляем значение $\sin B = -\frac{3}{5}$:

$$\cos^2 B = 1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$$

Отсюда:

$$\cos B = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Знак $\cos B$ положительный, так как точка $b$ находится в первой или четвертой четверти.

Шаг 2. Подставим все значения в формулу суммы углов для косинуса:

Теперь, когда мы знаем все значения, подставим их в формулу для суммы углов:

$$\cos(a + b) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B.$$

Подставляем найденные значения:

$$\cos(a + b) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} — \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right).$$

Выполняем умножение:

$$\cos(a + b) = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1.$$

Ответ: $\boxed{1}$.