ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите равенство:

$$\arccos \frac{1}{2}+\arccos (-\frac{1}{7})=\arccos (-\frac{13}{14})$$

Доказать равенство:

$$\arccos \frac{1}{2} + \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) = \arccos \left( -\frac{13}{14} \right);$$

$a + b = c;$

1) Точка $a$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0 \leq \arccos \frac{1}{2} \leq \pi;$$ $$\cos a = \cos \left( \arccos \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2};$$ $$\sin a = +\sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{4}{4} — \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

2) Точка $b$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0 \leq \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) \leq \pi;$$ $$\cos b = \cos \left( \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) \right) = -\frac{1}{7};$$ $$\sin b = +\sqrt{1 — \cos^2 b} = \sqrt{1 — \left( -\frac{1}{7} \right)^2} = \sqrt{\frac{49}{49} — \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7};$$

3) Значения функций:

$$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b — \sin a \cdot \sin b = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{7} \right) — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = -\frac{13}{14};$$ $$\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( -\frac{1}{7} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{3\sqrt{3}}{14};$$

4) Точка $a + b$ принадлежит второй четверти:

$$\cos(a + b) < 0, \quad \sin(a + b) > 0;$$ $$\frac{\pi}{2} \leq a + b \leq \pi;$$

5) Точка $c$ принадлежит второй четверти:

$$0 \leq \arccos \left( -\frac{13}{14} \right) \leq \pi;$$ $$0 \leq c \leq \pi, \quad \cos c < 0;$$ $$\frac{\pi}{2} \leq c < \pi;$$ $$\cos c = \cos \left( \arccos \left( -\frac{13}{14} \right) \right) = -\frac{13}{14};$$

6) Таким образом, достаточно доказать следующее равенство:

$$\cos(a + b) = \cos c;$$ $$-\frac{13}{14} = -\frac{13}{14};$$

Что и требовалось доказать.

Доказать равенство:

$$\arccos \frac{1}{2} + \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) = \arccos \left( -\frac{13}{14} \right).$$

Рассмотрим $a + b = c$, где:

• $a = \arccos \frac{1}{2}$,
• $b = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$,
• $c = \arccos \left( -\frac{13}{14} \right)$.

Нам нужно доказать, что углы $a + b$ и $c$ равны, т.е. $\cos(a + b) = \cos c$ и $\sin(a + b) = \sin c$.

Шаг 1. Рассмотрим точку $a = \arccos \frac{1}{2}$

Точка $a = \arccos \frac{1}{2}$ принадлежит первой или второй четверти, так как арккосинус лежит на интервале $[0, \pi]$.

1.1) Из определения арккосинуса:

$$\cos a = \frac{1}{2}.$$

1.2) Для нахождения $\sin a$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1.$$

Подставляем значение $\cos a = \frac{1}{2}$:

$$\sin^2 a = 1 — \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4},$$ $$\sin a = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Знак $\sin a$ положительный, так как точка $a$ находится в первой или второй четверти.

Шаг 2. Рассмотрим точку $b = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$

Точка $b = \arccos \left( -\frac{1}{7} \right)$ также принадлежит первой или второй четверти, так как арккосинус находится на интервале $[0, \pi]$.

2.1) Из определения арккосинуса:

$$\cos b = -\frac{1}{7}.$$

2.2) Для нахождения $\sin b$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 b + \cos^2 b = 1.$$

Подставляем значение $\cos b = -\frac{1}{7}$:

$$\sin^2 b = 1 — \left( -\frac{1}{7} \right)^2 = 1 — \frac{1}{49} = \frac{48}{49},$$ $$\sin b = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}.$$

Знак $\sin b$ положительный, так как точка $b$ находится в первой или второй четверти.

Шаг 3. Вычислим $\cos(a + b)$ и $\sin(a + b)$

Используем формулы для косинуса и синуса суммы углов:

$$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b — \sin a \cdot \sin b,$$ $$\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b.$$

Подставляем найденные значения для $\sin a, \cos a, \sin b, \cos b$:

$$\cos(a + b) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{7} \right) — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = -\frac{1}{14} — \frac{12}{14} = -\frac{13}{14},$$ $$\sin(a + b) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( -\frac{1}{7} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = -\frac{\sqrt{3}}{14} + \frac{2\sqrt{3}}{7} = \frac{3\sqrt{3}}{14}.$$

Шаг 4. Рассмотрим точку $c = \arccos \left( -\frac{13}{14} \right)$

Точка $c = \arccos \left( -\frac{13}{14} \right)$ принадлежит второй четверти, так как арккосинус находится на интервале $[0, \pi]$.

4.1) Из определения арккосинуса:

$$\cos c = -\frac{13}{14}.$$

4.2) Для нахождения $\sin c$ используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 c + \cos^2 c = 1.$$

Подставляем значение $\cos c = -\frac{13}{14}$:

$$\sin^2 c = 1 — \left( -\frac{13}{14} \right)^2 = 1 — \frac{169}{196} = \frac{27}{196},$$ $$\sin c = \sqrt{\frac{27}{196}} = \frac{3\sqrt{3}}{14}.$$

Шаг 5. Сравним $\cos(a + b)$ с $\cos c$ и $\sin(a + b)$ с $\sin c$

Мы нашли, что:

$$\cos(a + b) = -\frac{13}{14}, \quad \cos c = -\frac{13}{14},$$ $$\sin(a + b) = \frac{3\sqrt{3}}{14}, \quad \sin c = \frac{3\sqrt{3}}{14}.$$

Таким образом, мы доказали, что:

$$\cos(a + b) = \cos c \quad \text{и} \quad \sin(a + b) = \sin c,$$

что означает, что углы $a + b$ и $c$ равны, т.е. $a + b = c$.

Заключение

Равенство $\arccos \frac{1}{2} + \arccos \left( -\frac{1}{7} \right) = \arccos \left( -\frac{13}{14} \right)$ доказано.